Система уравнений с двумя переменными. Уравнения первой степени. Способы решения. Урок «Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными

Цели урока: закрепить умение и навыки решения систем уравнений второй степени различными способами: графическим, способом подстановки, способом сложения; развивать познавательный интерес, внимание, память, логическое мышление; воспитать чувство ответственности, самостоятельность.

Ход урока

1. Организационный момент: цели и задачи урока.

2. Повторение материала (9 мин)

1. Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?
2. Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является графиком обратной пропорциональности?
3. Каким уравнением задается окружность?
4. Как задается квадратичная функция? Что является графиком квадратичной функции? (К каждому вопросу сразу дается правильный ответ с рисунком)
5. Решить систему уравнений графическим (слайд 4)- решение (слайд5)
6. Перед Вами графики двух уравнений. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение.(слайд 6)
7. Подготовка к малому ЕГЭ (слайд 7-9)

Повторим решение систем уравнений второй степени 3 способами:

А) б) в)

Вместе проверяют решение систем уравнений, решенных на доске, учащиеся должны обосновать свое решение.

Урок закрепление.Решение систем уравнений второй степени.

Бакашева Малика Вахитовна, 17.12.2017

789 37

Содержимое разработки

Вариант 1.
Часть 1.

Укажите систему уравнений, которая имеет два решения.

								у=х 2 – 2х – 3 и у = 1 –2х. Ответ:_______________________

3. Решите систему уравнений, используя метод подстановки:

а) (3;2),(2;3); б) (-2;7), (-3;8) в) (3;2)

4.Решите систему уравнений, используя метод сложения: х 2 - 2у = 3,
5х 2 + у = 4.

а) (1;- 1); б) (-1; -1); в) (-1;-1);(1;-1).

Часть 2.

1. Изобразите схематически графики уравнений у = и у = (х - 1) 2 +1.

2. Пусть (х 0 ;у 0) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения (х 0 +у 0) 2 .

а) 25/36; б) 25; в)13.

Вариант 2.
Часть 1.

1. На рисунке изображена парабола и три прямые.

Укажите систему уравнений, которая имеет одно решение.

								2. На рисунке изображены графики функций у= –х 2 + 2х + 3 и у =2х –1. Используя графики решите систему уравнений Ответ:__________________________ Ответ____________________

3. Реши систему уравнений, используя метод подстановки:

а) (2;1),(-5;8); б) (5;-2); в) (5;-2),(-2;5)

4. Реши систему уравнений, используя метод сложения: 8х+3у 2 = -21,
4х+5у 2 = 7.
а) (1; -3); б) (1;-3),(-1;-3); в) (-1;-3)

Часть 2.

1. Изобразите схематически графики уравнении у = и у = х 2 + 1.

С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) одно; б) два; в) не имеет решений.

2. Пусть (х 0 ;у 0) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения 2х 0 +у 0 .

а) 10; б) 12; в)1.

Содержимое разработки

Алгебра 9 класс 16.01.2017г

Уч.математики:Бакашева М.В.

Тема: "Решение систем уравнений второй степени"

Цели урока:

Обучающие:

Обобщить знания и закрепить умения учащихся решать системы уравнений второй степени различными способами.

Создать условия для отработки навыков самостоятельной работы, работы в группах, при выполнении заданий.

Развивающие:

Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к «видению» проблемы, формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли; развивать навыки самопроверки, самоконтроля, развивать умение применять теоретические знания на практике.

Воспитательные:

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией, умение слушать товарищей, содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, общей культуре.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: компьютер, проектор, тестовые знания.

Ход урока

Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята и гости. Посмотрите в окошко – какая сегодня солнечная погода. Сегодня на уроке я вам желаю солнечного и ясного настроения.

Для того, чтобы наш урок прошёл успешно, я предлагаю разделиться на 3 группы. В каждой группе один человек будет консультантом. (Деление на 3 группы). А чтобы оценить работу каждого я вам раздам оценочные лисы. Каждый в оценочном листе будет ставить баллы за правильный ответ или решённую задачу.

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Проверка домашнего задания

Сейчас мы проверим домашнее задание. У вас были даны задания двух уровней. Поднимите руку те, кто делал уровень А. (Проверка на слайде)

Поднимите руку те кто делал уровень Б. (Проверка по слайду)

Постановка темы и целей урока.

1.Фронтальный опрос.

1.Что называется решением уравнения с двумя переменными?

2. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

3. Что называется системой уравнений второй степени? (система составленная из уравнений второй степени или из одного уравнения первой степени и одного уравнения второй степени)?

2. Что называется решением системы уравнений второй степени? (Решением системы уравнений является пара чисел, обращающая оба уравнения в верные числовые равенства)

3. Что значит решить систему уравнений второй степени? (найти все его решения или доказать, что решений нет)

4. Какие системы уравнений называются равносильными?

(Те которые имеют одинаковые решения или те, которые решений не имеют)

5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете, в чем их преимущества и недостатки?

6. Какие методы решений систем уравнений аналитическим способом вы знаете?

7. Изложите основные алгоритмы решения систем уравнений с двумя переменными.

8. Подберитенаиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:

2. Формулировка темы и целей урока.

- Исходя из выполненных заданий давайте сформулируем тему урока.

- А теперь поставим цели нашего урока (решение систем уравнений всеми способами)

Мы сегодня с вами обобщим и закрепим знания по теме, выполним задания по теме, проверим свои знания в ходе выполнения тестовых заданий.

На слайде указана тема урока.

А теперь каждая группа получит задание.

IV . Работа по теме урока.

1.Задания группам:

Консультанты за каждое верно выполненное задание дают по 1 баллу.

Проверим решение систем по слайдам.

Вы поработали в группах, а теперь каждый из вас поработает самостоятельно, выполнив тестовое задание.

Тесты по вариантам. (3 варианта)

3 . Тест.(самопроверка слайды). Выставление баллов в оценочный лист.

4.Подведение итогов урока.(слайд)
4-5 баллов - «3»

6-8 баллов - «4»

10 баллов - «5»

V . Рефлексия

Чем понравился вам урок?

Что вы можете взять для себя из этого урока?

Что вам показалось сложного на уроке?

На столе лежат ромбики разных цветов (оранжевые и серые). Каждый подойдёт и возьмёт тот, который соответствует вашему настроению в конце урока.

VI .Домашнее задание и его инструктаж .

Домашнее задание:

Спасибо за урок!

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Ответьте на вопросы.

1.Что называется системой уравнений второй степени? 2. Что называется решением системы уравнений второй степени? 3. Что значит решить систему уравнений второй степени? 4. Какие системы уравнений называются равносильными? 5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете? 6.Какие методы решений систем уравнений аналитическим способом вы знаете? 7.Изложите основные алгоритмы решения систем уравнений с двумя переменными.

8.Подберите наиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:

1) 2) 3 ) 4 )

Системы уравнений

Аналитический способ

Графический способ

Метод сложения

Метод подстановки

Графический способ (алгоритм )

• Выразить у через х в каждом уравнении
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения
• Определить координаты точки пересечения
• Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

• Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую
• Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
• Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
• Записать ответ: х =…; у =… .

• Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной
• Сложить почленно уравнения системы
• Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых
• Решить новое уравнение и найти значение одной переменной
• Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной
• Записать ответ: х=…; у=… .

Задания по группам

• Решить систему уравнений графическим способом
• Решить систему уравнений методом подстановки

3. Решить систему уравнений способом сложения

х 2 - 2у 2 =14,

Решение системы графическим способом

Выразим у

Построим график

первого уравнения

Построим график

второго уравнения

Найдем координаты точек пересечения графиков функций

Ответ: (2; 4);(-1;1)

Решение системы уравнений способом подстановки

Выразим х через у

уравнение

Подставим

у=0 или 1-у=0

Подставим

Подставим

Ответ: (2;0);(3;1).

Уравняем

Решение системы уравнений способом сложения

уравнение

х 2 - 2у 2 =14,

Сложим уравне-

ния почленно

х 2 - 2у 2 =14,

х 2 +2у 2 =18;

уравнение

х 2 - 2у 2 =14;

Ответ: ( 4 ; 1); (4; -1); (-4; 1); (-4; -1).

х 2 - 2у 2 =14 ;

Подставим

• 1 задание – 1 балл
• 2 задание – 1 балл
• 3 задание – 1 балл
• 4 задание – 1 балл
• 5 задание – 1 балл
• 6 задание – 1 балл
• 7 задание – 2 балла

Ответы: Вариант1.

Часть 1.

Часть 2.

Ответы: Вариант2.

Часть 1.

Часть 2.

Ответы: Вариант3.

Часть 1.

Часть 2.

Ответы: Вариант4.

Часть 1.

Часть 2.

• 4-5 баллов - «3»
• 6-8 баллов - «4»
• 10 баллов - «5»

Домашнее задание

В папке «Математика» итоговый тест по теме «Уравнения и системы уравнений»

Лист самоконтроля.
Ф.И. ученика	Устные вопросы	Общие практические задания	Тест
Количество баллов
Всего баллов
Оценка

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с.Црау

Алгебра 9 класс.

Открытый урок по теме

« Подготовка к ОГЭ. Решение систем уравнений второй степени. Задание №21».

Подготовила и провела

учитель математики Царукаева Ф.Ю.

март 2017 год.

Тип урока : урок закрепления полученных знаний

Цели урока:

Тест:

Вариант 1.
Часть 1.

3. Решите систему уравнений, используя метод подстановки:
а) (3;2),(2;3); б) (-2;7), (-3;8) в) (3;2)

4.Решите систему уравнений, используя метод сложения: х 2 -2у = 3,
5х 2 + у = 4.

а) (1;- 1); б) (-1; -1); в) (-1;-1);(1;-1).

Часть 2.

1.

a ) 16) 2 в) Зг) 4

2. Пусть (х 0 ;у 0 ) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения (х 0 +у 0 ) 2 .

а) 25/36; б) 25; в)13.

Тест:

Вариант 2.
Часть 1.

3. Реши систему уравнений, используя метод подстановки:
а) (2;1),(-5;8); б) (5;-2); в) (5;-2),(-2;5)

4. Реши систему уравнений, используя метод сложения: 8х+3у 2 = -21,
4х+5у 2 = 7.
а) (1; -3); б) (1;-3),(-1;-3); в) (-1;-3)

Часть 2.

1. Какую из предложенных систем уравнений можно решить с помощью данного рисунка?

2. Пусть (х 0 ;у 0 ) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения 2х 0 +у 0 .

а) 10; б) 12; в)1.

Итог урока.

Итак, наш урок подошел к концу. Мы успешно поработали, а теперь подведем итог нашему уроку. Чем мы занимались на сегодняшнем уроке?

Рассмотрели различные способы решения систем уравнений второй степени, увидели преимущество тех или иных способов в конкретных ситуациях.

А для чего нам нужно умение решать системы уравнений второй степени?

Умение решать системы уравнений второй степени используется в области атомной физики, при расчетах фундаментов строений, при составлении карт геодезических съемок.

Благодарю вас за работу и желаю успехов при выполнении домашнего задания.

Домашнее задание.

(Используя дифференцированный подход, раздаются карточки с заданиями разного уровня сложности типа К – 1, К – 2 и К – 3).

4. Задайте формулами систему уравнений второй степени, зная ее графическое решение:

7. Окончание урока:

Закончим урок притчей.

Притча – малый литературный жанр, заключающий в себе моральное поучение. Близка к басне.

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?».И тот с ухмылкой ответил: «Что целый день возил проклятые камни». У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил:

«А я добросовестно выполнял своюработу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!».

Ребята! Давайте и мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

Кто работал так, как первый человек? Поднимите синие кружочки.

Кто работал добросовестно? Поднимите зеленые кружочки.

Кто принимал участие в строительстве храма? Поднимите красные кружочки.

В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.

Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.

Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений

Квадратное уравнение – 2x 2 + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Пример 6.24. Решить систему уравнений

Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.

Получаем систему уравнений

Возвращаясь к переменным x и y, получаем

Решив эту систему:

y 2 – 3y + 2 = 0,Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.

Ответ: (2; 1) , (1; 2).

Пример 6.25. Решить систему уравнений

Решение. Разложим левые части уравнений на множители:

Выразив из второго уравнения (x ¹ 0) x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим

Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем

3x 2 = – 3, X 1 = 1; X 2 = – 1, тогда Y 1 = 4; Y 2 = – 4.

Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).

Пример 6.26. Решим задачу.

Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м 2 .

Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений

т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения системы обращает их в верные числовые равенства.

Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем х(8 - у) = 15, т.е. 8х - х 2 = 15 или

х 2 - 8х + 15 = 0.

Решим это уравнение: D = (- 8) 2 - 4× 1× 15 = 64 - 60 = 4,

Х 1,2 = (8 ± Ö 4) / 2 = (8 ± 2) / 2.

Значит, х 1 = 5, х 2 = 3. Поскольку у = 8 - х, то получаем у 1 = 3, а у 2 = 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.

Замечание: уравнение х 2 - 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z 2 - 8z + 15 = 0.

Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. Если в одно из них какое- нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.

Пример 6.27 . Решим систему уравнений

Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 - 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 - 2х)2 = 53.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53

и потому 5х2 - 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение

5х2 - 44х + 68 = 0.

Решая его, находим D = (- 44)2 - 4× 5× 68 = 1936 - 1360 = 576,

Х 1,2 = (44 ± 24) / 10.

Итак х 1 = 6,8; х 2 = 2, Þ у 1 = 11 - 2× 6,8 = - 2,6; у 2 = 11 - 2× 2 = 7.

Ответ: х 1 = 6,8; у 1 = - 2,6; х 2 = 2; у 2 = 7.

Специфика содержания и структура предмета требует широкого применения методов, которые способствуют активизации мышления учащихся, развитию их познавательных способностей и самостоятельности, умения применять полученные знания в различных условиях.

Актуальность работы основана на развитии и повышении интереса учащихся к изучаемому предмету, создает наиболее благоприятные условия для развития познавательных сил учащихся. На сегодняшний день, чтобы вовлечь учащихся в учебу. Необходимы все новые и новые формы урока, где за основу берется познавательный интерес учащихся, а учитель является лишь сотворцом, который приблизит этот интерес к формированию познавательной активности.

Применение компьютерных технологий позволяет значительно снизить трудоемкость обучения и сэкономить время, как учителю, так и школьникам, существенно повышается эффективность обучения и качество формирующих знаний и умений.

Такая форма проведения занятий существенно повышает мотивацию учения, эффективность и продуктивность учебной деятельности, обеспечивает работу всего класса, позволяет учащимся раскрыть свои способности, «раскрепостить» их мышление.

Использование проектора играет не главную роль, но делает урок современным, позволяет экономить время учителя и при подготовке урока и во время проведения.

Как говорят сейчас- улучшает качество жизни, а значит и качество образования.

Дети хотят быть современными и сопричастными к новейшим технологиям

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Решение систем уравнений второй степени»

Комарова Наталья Алексеевна, учитель математики

Тип урока: урок закрепления полученных знаний

Цели урока:

Обучающие:

1. обобщить и систематизировать способы решения систем уравнений второй степени;
2. организация поисковой деятельности учащихся при решении систем уравнений второй степени;
3. решать задачи, по данной теме, которые наиболее часто встречаются на «малом ЕГЭ»

развивающие:

1. использование для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
2. умение обосновывать свои рассуждения;
3. устранение пробелов в знаниях учащихся;

воспитательные:

1. выработка желания и потребности обобщать полученные факты;

воспитание настойчивости и терпения при выполнении заданий.

Оборудование и материалы : 1) презентация «Решение систем уравнений второй степени»; 2) мультимедийная доска;

3) бланки с тестами самостоятельной работой.

Ход урока

(c использованием презентации )

Слайд 1 .

1. Организационный момент.

Учитель: Тема нашего урока « Решение систем уравнений второй степени ».

Сообщить цели урока

2. Проверка знания алгоритмов.

Учитель начинает с вопросов: 1. Что называется решением системы?

2. Что значит решить систему?

Учитель прослушивает ответы и комментирует совпадающие, активизируя совпадающие на слайде2 .

3. Какие способы решения систем уравнений

Нам известны?

Опросить алгоритмы: 1. Способ подстановки Слайд №3 .

2. Способ сложения Слайд № 4.

3. Графический способ Слайд №5.

Учитель задает вопросы: Графический способ обычно

Позволяет находить решения системы

Точно или приближенно?

3. Устная работа

Учитель: Очень часто на ЕГЭ задания формулируется следующим образом:

« Используя графики уравнений укажите число решений системы уравнений».

- «А от чего будет зависеть число решений системы уравнений?»

- «А всегда ли графики пересекаются? Если нет, то что?»

Устная работа по слайдам

Перейдем к решению систем. На доске идет показ слайдов с заданиями.

Идет устная работа с классом. Для того, чтобы наш урок прошел интересно, наглядно, учащиеся класса по иллюстрациям будут объяснять материал, используя чертежи.

Задание № 1: Слайд№6.

Задание № 2: Слайд№7.

Задание № 3: Слайд№8.

4. Тест

Учитель: На партах у вас раздаточный материал (тесты с заданиями).

Детям предлагается выполнить тест по вариантам.

После чего проверяем с помощью слайда правильность выполнения теста. Слайд№9.

5. Закрепление алгоритмов при решении систем уравнений.

На доске двое учеников решают две системы. Одну способом подстановки, а другую способом сложения. №309(б)

6. Самостоятельная работа.

Детям предлагается решить систему уравнений удобным им способом

После сбора заданий проводит самопроверку.

После того как будут сданы работы, проверяем по слайдам правильность выполнения работы. Способа подстановки - Слайд№10.

Способа сложения - Слайд№11.

Графического способа сложения Слайд№12.

7. Итог урока.

Запись д.з. №303(б), 309(а), 302(б), Учитель подводит итоги урока, благодарит помощников, анализирует уровень усвоения теоретического материала.

Спросить, а какой способ больше нравится?