Теорема косинусов для треугольника
Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.
Эта математическая программа находит стороны \(b, c \), и угол \(\alpha \) по заданным пользователем стороне \(a \) и двум прилежащим к ней углам \(\beta \) и \(\gamma \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно задать не только целые, но и дробные.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5
или так 2,5
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Теорема синусов
Теорема
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$
Теорема косинусов
Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное
на косинус угла между ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$
Решение треугольников
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.
Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника ABC: AB = c, BC = a, CA = b.
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Дано: \(a, b, \angle C \). Найти \(c, \angle A, \angle B \)
Решение
1. По теореме косинусов находим \(c\):
$$ \cos A = \frac{ b^2+c^2-a^2 }{2bc} $$
3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)
Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Дано: \(a, \angle B, \angle C \). Найти \(\angle A, b, c \)
Решение
1. \(\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)
$$ b = a \frac{\sin B}{\sin A}, \quad c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$
Решение треугольника по трём сторонам
Дано: \(a, b, c \). Найти \(\angle A, \angle B, \angle C \)
Решение
1. По теореме косинусов получаем:
$$ \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
2. Аналогично находим угол B.
3. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)
Решение треугольника по двум сторонам и углу напротив известной стороны
Дано: \(a, b, \angle A \). Найти \(c, \angle B, \angle C \)
Решение
1. По теореме синусов находим \(\sin B \) получаем:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b}{a} \cdot \sin A $$
Введём обозначение: \(D = \frac{b}{a} \cdot \sin A \). В зависимости от числа D возможны случаи:
Если D > 1, такого треугольника не существует, т.к. \(\sin B \) больше 1 быть не может
Если D = 1, существует единственный \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Если D
Если D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)
3. С помощью теоремы синусов вычисляем сторону c:
$$ c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$
Косинус - тригонометрическая функция, которая геометрически определяется как соотношение прилежащего катета к гипотенузе. Как и все тригонометрические функции, косинус нашел широчайшее применение в науке.
История вопроса
Тригонометрия как наука возникла еще в Древней Индии, когда ученые разработали таблицу соотношений катетов и гипотенуз и их численных значений для основных углов. Термин «косинус» - сравнительно молодой, так как изначально ученые пользовались только синусом и тангенсом угла. Complementry sinus, он же дополнительный синус, он же косинус - это просто синус угла, смещенного на 90 градусов. Именно поэтому для расчета соотношений прилежащего к углу катета и гипотенузы использовался синус смещенного угла, что упрощало расчеты.
Геометрически косинус - это соотношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет - это сторона прямоугольного треугольника, которая вместе с гипотенузой образует рассматриваемый угол. Как и любая тригонометрическая функция, изначально косинус рассчитывался только для углов. Для любого значения угла косинус имеет строго определенное значение и никогда не изменяется. С развитием математической науки тригонометрические функции были расширены на всю числовую ось, и сегодня легко взять косинус не только целого числа, но также вещественного и даже комплексного.
Определение косинуса
Итак, есть , катеты которого обозначаются как A и B, а гипотенуза как C. Из определения косинуса мы получаем, что для заданного угла AC его соотношение прилежащего катета и гипотенузы будет равно cosAC = A/C. Изначально косинусы рассчитывались только для прямоугольных треугольников, однако с развитием математической науки косинусы прочно вошли в расчеты и сейчас используются для любых треугольников. Одним из таких примеров является теорема косинусов - теорема евклидовой геометрии, которая расширяет на любые плоские треугольники.
Теорема косинусов
Для любого треугольника справедливо равенство:
a 2 = b 2 + c 2 - 2b × c × cosA,
где угол A - это угол, противолежащий стороне a.
Данное уравнение правдиво для любых плоских треугольников и при помощи него легко определить угол или одну из сторон. Если угол A - прямой, то выражение 2b×c×cosA обращается в ноль, так как cos90 = 0. Следовательно, напротив прямого угла лежит наибольшая сторона или гипотенуза, а теорема косинусов превращается в классическую теорему Пифагора:
a 2 = b 2 + c 2 ,
где a - гипотенуза.
Использование косинусов
В повседневной жизни не находят применения. Вся бытовая математика находится на уровне математических познаний древних греков, когда для простейших расчетов используются элементарные арифметические функции и рациональные соотношения. Однако большая часть современных технологий функционирует с использованием различных тригонометрических функций. К примеру, для определения мощности электротехнических приборов используется косинус фи - косинус угла между векторными значениями тока и напряжения. Еще пример: через тригонометрические функции легко перевести геодезические углы в привычные нам координаты на земной поверхности.
Наша программа представляет собой онлайн-калькулятор, который позволяет рассчитывать значения основных тригонометрических функций углов, выраженных в градусах или радианах. Для использования калькулятора требуется выбрать в меню программы требуемую функцию и ввести величину угла в градусах. Калькулятор вычисляет и обратную функцию арккосинуса. Если требуется определить угол по известному значению косинуса, введите значение функции в ячейку «Косинус» и выполните расчет. Программа мгновенно выдаст значение угла. Рассмотрим пару примеров использования калькулятора.
Примеры из жизни
Вычисление углов
Пусть в задаче по геометрии дан треугольник со сторонами A = 3 см, B = 4 см и C = 5 см. Требуется найти значения всех углов. На первый взгляд это сложная задача, однако мы знаем, что 3, 4 и 5 - это классическая пифагорова тройка, следовательно, известны значения катетов и гипотенуз. Очевидно, что угол AB = 90 градусов, так как катеты всегда образуют прямой угол. Теперь мы можем найти углы AC и BC. Косинус угла численно равен дроби, в числителе которой стоит прилежащий катет, а в знаменателе - гипотенуза. Прилежащие катеты - это образующие угол катеты, следовательно, cosAC = A/C и cosBC = B/C. Подсчитаем численные значения:
- cosAC = A/C = 3/5 = 0,6;
- cosBC = B/C = 4/5 = 0,8.
Теперь определим соответствующие углы при помощи нашего калькулятора. Углы с такими значениями косинусов равны соответственно 53,13 и 36,87 градуса. Правильность решения легко проверить, сложив величины углов:
90 + 53,13 + 36,87 = 180.
Расчет косинусов
Прямая задача определения численных значений функций - это вычисление косинуса в зависимости от величины угла. Для такой задачи можно использовать таблицу Брадиса - четырехзначные таблицы значений тригонометрических функций для целочисленных величин углов. Вычислим значения косинусов для основных углов. Для этого введем значения в ячейки «Косинус»:
- cos30 = 0,866;
- cos45 = 0,707;
- cos60 = 0,5;
- cos90 = 0;
- cos120 = –0,5;
- cos150 = - 0,866;
- cos180 = - 1.
Это основные значения косинусов для стандартных величин углов треугольника. В целом значения тригонометрических функций периодически повторяются каждые 360 градусов.
Заключение
Тригонометрия - определенно важный раздел математики, функции которого повсеместно используются в современных технологиях. Наши калькуляторы прекрасно подходят для элементарных расчетов по геометрии и тригонометрии.
Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.
Эта математическая программа находит сторону \(c \), углы \(\alpha \) и \(\beta \) по заданным пользователем сторонам \(a, b \) и углу между ними \(\gamma \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно задать не только целые, но и дробные.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5
или так 2,5
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Теорема синусов
Теорема
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$
Теорема косинусов
Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное
на косинус угла между ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$
Решение треугольников
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.
Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника ABC: AB = c, BC = a, CA = b.
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Дано: \(a, b, \angle C \). Найти \(c, \angle A, \angle B \)
Решение
1. По теореме косинусов находим \(c\):
$$ \cos A = \frac{ b^2+c^2-a^2 }{2bc} $$
3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)
Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Дано: \(a, \angle B, \angle C \). Найти \(\angle A, b, c \)
Решение
1. \(\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)
$$ b = a \frac{\sin B}{\sin A}, \quad c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$
Решение треугольника по трём сторонам
Дано: \(a, b, c \). Найти \(\angle A, \angle B, \angle C \)
Решение
1. По теореме косинусов получаем:
$$ \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
2. Аналогично находим угол B.
3. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)
Решение треугольника по двум сторонам и углу напротив известной стороны
Дано: \(a, b, \angle A \). Найти \(c, \angle B, \angle C \)
Решение
1. По теореме синусов находим \(\sin B \) получаем:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b}{a} \cdot \sin A $$
Введём обозначение: \(D = \frac{b}{a} \cdot \sin A \). В зависимости от числа D возможны случаи:
Если D > 1, такого треугольника не существует, т.к. \(\sin B \) больше 1 быть не может
Если D = 1, существует единственный \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Если D
Если D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)
3. С помощью теоремы синусов вычисляем сторону c:
$$ c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$
