Круг Эйлера. Круги Эйлера - примеры в логике. Применение диаграмм эйлера-венна при решении логических задач

Леонард Эйлер (1707-1783) - известный швейцарский и российский математик, член Петербургской академии наук, бо́льшую часть жизни прожил в России. Наиболее известным в статистике, информатике и логике считается круг Эйлера (диаграмма Эйлера-Венна), используемый для обозначения объема понятий и множеств элементов.

Джон Венн (1834-1923) - английский философ и логик, соавтор диаграммы Эйлера-Венна.

Совместимые и несовместимые понятия

Под понятием в логике подразумевается форма мышления, отражающая существенные признаки класса однородных предметов. Они обозначаются одним либо группой слов: «карта мира», «доминантовый квинтсептаккорд», «понедельник» и др.

В случае когда элементы объема одного понятия полностью или частично принадлежат объему другого, говорят о совместимых понятиях. Если же ни один элемент объема определенного понятия не принадлежит к объему другого, мы имеем место с несовместимыми понятиями.

В свою очередь, каждый из видов понятий имеет собственный набор возможных отношений. Для совместимых понятий это следующие:

• тождество (равнозначность) объемов;
• пересечение (частичное совпадение) объемов;
• подчинение (субординация).

Для несовместимых:

• соподчинение (координация);
• противоположность (контрарность);
• противоречие (контрадикторность).

Схематически отношения между понятиями в логике принято обозначать при помощи кругов Эйлера-Венна.

Отношения равнозначности

В данном случае понятия подразумевают один и тот же предмет. Соответственно, объемы данных понятий полностью совпадают. Например:

А - Зигмунд Фрейд;

В - основоположник психоанализа.

А - квадрат;

В - равносторонний прямоугольник;

С - равноугольный ромб.

Для обозначения используются полностью совпадающие круги Эйлера.

Пересечение (частичное совпадение)

А - педагог;

В - меломан.

Как видно из данного примера, объемы понятий частично совпадают: определенная группа педагогов может оказаться меломанами, и наоборот - среди меломанов могут быть представители педагогической профессии. Аналогичное отношение будет в случае, когда в А выступает, например, «горожанин», а в качестве В - «автоводитель».

Подчинение (субординация)

Схематически обозначаются как разные по масштабу круги Эйлера. Отношения между понятиями в данном случае характеризуются тем, что подчиненное понятие (меньшее по объему) полностью входит в состав подчиняющего (большего по объему). При этом подчиненное понятие не исчерпывает полностью подчиняющее.

Например:

А - дерево;

В - сосна.

Понятие В будет являться подчиненным по отношению к понятию А. Так как сосна относится к деревьям, то понятие А становится в данном примере подчиняющим, «поглощающим» объем понятия В.

Соподчинение (координация)

Отношение характеризует два и более понятия, исключающих друг друга, но принадлежащих при этом определенному общему родовому кругу. Например:

А - кларнет;

В - гитара;

С - скрипка;

D - музыкальный инструмент.

Понятия А, В, С не являются пересекающимися по отношению друг к другу, тем не менее, все они относятся к категории музыкальных инструментов (понятие D).

Противоположность (контрарность)

Противоположные отношения между понятиями подразумевают отнесенность данных понятий к одному и тому же роду. При этом одно из понятий обладает определенными свойствами (признаками), в то время как другое их отрицает, замещая противоположными по характеру. Таким образом, мы имеем дело с антонимами. Например:

А - карлик;

В - великан.

Круг Эйлера при противоположных отношениях между понятиями разделяется на три сегмента, первый из которых соответствует понятию А, второй - понятию В, а третий - всем остальным возможным понятиям.

Противоречие (контрадикторность)

В данном случае оба понятия представляют собой виды одного и того же рода. Как и в предыдущем примере, одно из понятий указывает на определенные качества (признаки), в то время как другое их отрицает. Однако, в отличие от отношения противоположности, второе, противоположное понятие, не заменяет отрицаемые свойства другими, альтернативными. Например:

А - сложная задача;

В - несложная задача (не-А).

Выражая объем понятий подобного рода, круг Эйлера разделяется на две части - третьего, промежуточного звена в данном случае не существует. Таким образом, понятия также являются антонимами. При этом одно из них (А) становится положительным (утверждающим какой-либо признак), а второе (В или не-А) - отрицательным (отрицающим соответствующий признак): «белая бумага» - «не белая бумага», «отечественная история» - «зарубежная история» и т. д.

Таким образом, соотношение объемов понятий по отношению друг к другу является ключевой характеристикой, определяющей круги Эйлера.

Отношения между множествами

Также следует различать понятия элементов и множества, объем которых отображают круги Эйлера. Понятие множества заимствовано из математической науки и имеет достаточно широкое значение. Примеры в логике и математике отображают его как некую совокупность объектов. Сами же объекты являются элементами данного множества. «Множество есть многое, мыслимое как единое» (Георг Кантор, основатель теории множеств).

Обозначение множеств осуществляется А, В, С, D… и т. д., элементов множеств - строчными: а, b, с, d…и др. Примерами множества могут быть студенты, находящиеся в одной аудитории, книги, стоящие на определенной полке (или, например, все книги в какой-либо определенной библиотеке), страницы в ежедневнике, ягоды на лесной поляне и т. д.

В свою очередь, если определенное множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают знаком Ø. Например, множество точек пересечения множество решений уравнения х 2 = -5.

Решение задач

Для решения большого количества задач активно используются круги Эйлера. Примеры в логике наглядно демонстрируют связь с теорией множеств. При этом используются таблицы истинности понятий. Например, круг, обозначенный именем А, представляет собой область истинности. Таким образом, область вне круга будет представлять ложь. Чтобы определить область диаграммы для логической операции, следует заштриховать области, определяющие круг Эйлера, в которых ее значения для элементов А и В будут истинны.

Использование кругов Эйлера нашло широкое практическое применение в разных отраслях. Например, в ситуации с профессиональным выбором. Если субъект озабочен выбором будущей профессии, он может руководствоваться следующими критериями:

W - что я люблю делать?

D - что у меня получается?

P - чем я смогу хорошо зарабатывать?

Изобразим это в виде схемы: в логике - отношение пересечения):

Результатом станут те профессии, которые окажутся на пересечении всех трех кругов.

Отдельное место круги Эйлера-Венна занимают в математике при вычислении комбинаций и свойств. Круги Эйлера множества элементов заключены в изображении прямоугольника, обозначающего универсальное множество (U). Вместо кругов также могут использоваться другие замкнутые фигуры, но суть от этого не меняется. Фигуры пересекаются между собой, согласно условиям задачи (в наиболее общем случае). Также данные фигуры должны быть обозначены соответствующим образом. В качестве элементов рассматриваемых множеств могут выступать точки, расположенные внутри различных сегментов диаграммы. На ее основе можно заштриховать конкретные области, обозначив тем самым вновь образованные множества.

С данными множествами допустимо выполнение основных математических операций: сложение (сумма множеств элементов), вычитание (разность), умножение (произведение). Кроме того, благодаря диаграммам Эйлера-Венна можно проводить операции сравнения множеств по числу входящих в них элементов, не считая их.

История

Определение 1

Леонарду Эйлеру задали вопрос: можно ли, прогуливаясь по Кенигсбергу, обойти через все мосты города, дважды не проходя ни через один из них. План города с семью мостами прилагался.

В письме знакомому итальянскому математику Эйлер дал краткое и красивое решение проблемы кенигсбергских мостов: при таком расположении задача неразрешима. При этом он указал, что вопрос показался ему интересным, т.к. «для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра...» .

При решении многих задач Л. Эйлер изображал множества с помощью кругов, поэтому они и получили название «круги Эйлера» . Этим методом ещё ранее пользовался немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц, который использовал их для геометрического объяснения логических связей между понятиями, но при этом чаще использовал линейные схемы. Эйлер же достаточно основательно развил метод. Особенно знаменитыми графические методы стали благодаря английскому логику и философу Джону Венну, который ввел диаграммы Венна и подобные схемы часто называют диаграммами Эйлера-Венна . Используются они во многих областях, например, в теории множеств, теории вероятности, логике, статистике и информатике.

Принцип построения диаграмм

До сих пор диаграммы Эйлера-Венна широко используют для схематичного изображения всех возможных пересечений нескольких множеств. На диаграммах изображают все $2^n$ комбинаций n свойств. Например, при $n=3$ на диаграмме изображают три круга с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, который приближенно равен длине стороны треугольника.

Логические операции задают таблицы истинности. На диаграмме изображается круг с названием множества, которое он представляет, например, $A$. Область в середине круга $A$ будет отображать истинность выражения $A$, а область вне круга -- ложь. Для отображения логической операции заштриховывают только те области, в которых значения логической операции при множествах $A$ и $B$ истинны.

Например, конъюнкция двух множеств $A$ и $B$ истинна только в том случае, когда оба множества истинны. В таком случае на диаграмме результатом конъюнкции $A$ и $B$ будет область в середине кругов, которая одновременно принадлежит множеству $A$ и множеству $B$ (пересечению множеств).

Рисунок 1. Конъюнкция множеств $A$ и $B$

Использование диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств

Рассмотрим, как применяется метод построения диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств.

Докажем закон де Моргана, который описывается равенством:

Доказательство:

Рисунок 4. Инверсия $A$

Рисунок 5. Инверсия $B$

Рисунок 6. Конъюнкция инверсий $A$ и $B$

После сравнения области для отображения левой и правой части видим, что они равны. Из этого следует справедливость логического равенства. Закон де Моргана доказан с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Решение задачи поиска информации в Интернет с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Для осуществления поиска информации в Интернет удобно использовать поисковые запросы с логическими связками, аналогичными по смыслу союзам "и", "или" русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Пример 1

В таблице приведены примеры запросов к поисковому серверу. Каждый запрос имеет свой код -- буква от $A$ до $B$. Нужно расположить коды запросов в порядке убывания количества найденных страниц по каждому запросу.

Рисунок 7.

Решение:

Построим для каждого запроса диаграмму Эйлера-Венна:

Рисунок 8.

Ответ: БВА.

Решение логической содержательной задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Пример 2

За зимние каникулы из $36$ учеников класса $2$ не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино сходило $25$ человек, в театр -- $11$, в цирк -- $17$ человек; и в кино, и в театре -- $6$; и в кино и в цирк -- $10$; и в театр и в цирк -- $4$.

Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

Решение:

Обозначим количество ребят, побывавших и в кино, и в театре, и в цирке -- $x$.

Построим диаграмму и узнаем количество ребят в каждой области:

Рисунок 9.

Не были ни в театре, ни в кино, ни в цирке -- $2$ чел.

Значит, $36 - 2 = 34$ чел. побывали на мероприятиях.

В кино и театр сходило $6$ чел., значит, только в кино и театр ($6 - x)$ чел.

В кино и цирк сходило $10$ чел., значит, только в кино и цирк ($10 - x$) чел.

В театр и цирк сходило $4$ чел., значит, только в театре и цирк ($4 - x$) чел.

В кино сходило $25$ чел., значит, из них только в кино сходило $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$.

Аналогично, только в театр сходило ($1+x$) чел.

Только в цирк сходило ($3+x$) чел.

Итак, сходили в театр, кино и цирк:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;

Т.е. только один человек сходил и в театр, и в кино, и в цирк.

Задача №1:
Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное
путешествие, немецким языком владеют 30 человек,
английским – 28, французским – 42. Английским и немецким
одновременно владеют 8 человек, английским и
французским ­10 , немецким и французским – 5, всеми тремя
языками – 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?
Решение:
Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом тех, кто
знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и
третьим кругом – тех, кто знают немецкий.
французский
немецкий
английский

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в
общей части кругов вписываем число 3.
французский
немецкий
5
3
7
английский
Английским и французским
языками владеют 10 человек, а 3
из них владеют ещё и немецким.
Значит, английским и
французским владеют 10­3=7
человек.
В общую часть английского и
цифру 7.
Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из
них владеют ещё и французским. Значит, английским и
немецким владеют 8­3=5 человек.
В общую часть английского и немецкого кругов
вписываем число 5.

французский
немецкий
20
5
2
3
7
30
13
английский
Немецким и французским
языками владеют 5 человек, а
3 из них владеют ещё и
английским. Значит,
немецким и французским
владеют 5­3=2 человека.
В общую часть немецкого и
французского кругов вписываем
цифру 2.
Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из
них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают
20 человек.
Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и
другими языками, значит, только английский знают 13 человек.
Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют
и другими языками, значит, только французский знают 30 человек.
По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13
+5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык,
следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком.
Ответ:
20 человек.

Рисунки, подобные тем, что мы
рисовали при решении этой задачи,
называются «кругами Эйлера». Один из
величайших математиков Петербургской
академии Леонард Эйлер написал более
850 научных работ. В одной из них и
появились эти круги. Эйлер писал тогда,
что «они очень подходят для того, чтобы
облегчить наши размышления». Наряду с
кругами в подобных задачах применяют
прямоугольники и другие фигуры.

Задача №2:
В ясельной группе 11 деток любят манную кашу, 13 –
гречневую и 7 малышей – перловую. Четверо любят и
манную, и гречневую, 3 – манную и перловую, 6­ гречневую и
перловую, а двое с удовольствием «уплетают» все три вида
каши. Сколько детей в этой группе, если в ней нет ни одного
ребёнка, вовсе не любящего кашу?
Решение:
манная
перловая
11 6
0
31
4 2
2
13
7
64
5
гречнева
я
Ответ:
6+1+2+2+0+4+5=20 ребят

Задача №3:
В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту,
6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и
горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох.
Сколько детей было в семье?
Решение:
капуста
7
морковь
1
43
32
1
5 1
горох
21
6
1
Ответ: 10 человек.

Задача №4:
В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей
классической музыки, 15­джаза, 14 – народной музыки.
Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов,
народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9.
Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не
любят никакой музыки. Сколько их?
Решение:
джаз
15 7
6 1
7 2
5
14
4
классическая
музыка
9 4
14 3
народная
музыка
Ответ:
29­7­2­1­5­3­4­4=3(человека)
– не любят никакую музыку.

Задача №5:
Учащиеся 5 и 6 классов отправились на экскурсию.
Мальчиков было 16, учащихся 6 класса – 24, пятиклассниц
столько, сколько мальчиков из 6 класса. Сколько всего детей
побывали на экскурсии?
Решение:
16
мальчики
5 класс
мальчики
6 класс
девочки
5 класс
девочки
6 класс
24
Ответ: 40 человек.

10.

Задача №6:
На полу комнаты площадью 24 м² лежат три ковра. Площадь
одного из них ­10 м², другого – 8 м², третьего – 6 м². Каждые
два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь
участка пола, покрытого всеми тремя коврами, составляет 1
м². Найдите площадь участка пола:
а)покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого
третьим ковром;
б)покрытого только первым ковром;
в)не покрытого коврами.
Решение:
Ответ:
а) 10м²;
б)5 м²;
в) 24­10­5­1=8 м²
1
2
10
5
32
32
3
1
6
8
3 2
1
3

11.

Задача №7
1. Из 100 приехавших туристов 75 знали немецкий язык и
83 знали французский. 10 человек не знали ни немецкого,
ни французского. Сколько туристов знали оба эти языка?
Решение:
немецкий
французский
75
х
100­10=90
83
Получим уравнение: 75+83­х=90
158­х=90
х=68
Ответ:
68 человек знали оба языка

12.

1. Из 40 опрошенных человек 32
любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и
молоко, и лимонад. Сколько человек
не любят ни молоко, ни лимонад?
Ответ: 2 человека

13.

Задача для самостоятельного решения:
2. В воскресенье 19 учеников нашего
класса побывали в планетарии, 10 – в
цирке и 6 – в музее. Планетарий и цирк
посетили 5 учеников; планетарий и музей –
трое, в цирке и музее был один человек.
Сколько учеников в нашем классе, если
никто не успел посетить все три места, а
трое вообще никуда не ходили?
Ответ: 20 человек

14.

Задача для самостоятельного решения:
3. В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из
них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют
в хоре, 22 увлекаются спортом. В
драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6
спортсменов, в драмкружке 8
спортсменов, а 3 спортсмена посещают и
драмкружок, и хор. Сколько ребят не
поют в хоре, не увлекаются спортом и не
занимаются в драмкружке? Сколько
ребят заняты спортом?
Ответ: 10 ребят, 11 спортсменов.

15.

Задача для самостоятельного решения:
4.Из сотрудников фирмы 16
побывали во Франции, 10 – в
Италии, 6 – в Англии. В Англии и
Италии – пятеро, в Англии и
Франции – 6, во всех трёх странах
– 5 сотрудников. Сколько человек
посетили и Италию, и Францию,
если всего в фирме работает 19
человек, и каждый их них
побывал хотя бы в одной из
названных стран?
Ответ: 7 сотрудников

16.

с

Ч
е
р
т
с

И
х
м
ы
ы
в
н
о
ь
н

Л
о
е
т
Д
а
м
и
и
м
н
а
а
ч
з
а
д

Леонард Эйлер – величайший из математиков,написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги.

Учёный писал, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Задача 1

Из 90 туристов, отправляющихся в путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28 чел, французским – 42 чел. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 чел, немецким и французским – 5 чел, всеми тремя языками – 3 чел. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение:

Покажем условие задачи графически – с помощью трёх кругов

Ответ: 10 человек.

Задача 2

Многие ребята нашего класса любят футбол, баскетбол и волейбол. А некоторые - даже два или три из этих видов спорта. Известно, что 6 человек из класса играют только в волейбол, 2 – только в футбол, 5 – только в баскетбол. Только в волейбол и футбол умеют играть 3 человека, в футбол и баскетбол – 4, в волейбол и баскетбол – 2. Один человек из класса умеет играть во все игры, 7 не умеют играть ни в одну игру. Требуется найти:

Сколько всего человек в классе?

Сколько человек умеют играть в футбол?

Сколько человек умеют играть в волейбол?

Задача 3

В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, а 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Задача 4

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 – в Италии, 6 – в Англии. В Англии и Италии – пятеро, в Англии и Франции – 6, во всех трёх странах – 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работает 19 человек, и каждый их них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Задача 5

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Задачи для решения учащимися

1. В классе 35 учеников. Все они являются читателями школьной и район­ной библиотек. Из них 25 берут книги в школьной библиотеке, 20 - в рай­онной. Сколько из них:

а) не являются читателями школь­ной библиотеки;

б) не являются читателями район­ной библиотеки;

в) являются читателями только школьной библиотеки;

г) являются читателями только рай­онной библиотеки;

д) являются читателями обеих библиотек?

2.Каждый ученик в классе изучает английский или немецкий язык, или оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, немецкий - 27 человек, а тот и другой - 18 человек. Сколько всего учеников в классе?

3.На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2 и квадрат площадью 55 см2. Площадь пересечения круга и квадрата равна 30 см2. Не занятая кру­гом и квадратом часть листа имеет пло­щадь 150 см2. Найдите площадь листа.

4. В группе туристов 25 человек. Среди них 20 человек моложе 30 лет и 15 человек старше 20 лет. Может ли так быть? Если может, то в каком случае?

5. В детском саду 52 ребенка. Каж­дый из них любит пирожное или моро­женое, или то и другое. Половина де­тей любит пирожное, а 20 человек - пирожное и мороженое. Сколько де­тей любит мороженое?

6. В классе 36 человек. Ученики это­го класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок по­сещают 18 человек, физический - 14, химический - 10. Кроме того, извест­но, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек -.и математиче­ский, и физический, 5 - и математи­ческий, и химический, 3 - и физи­ческий, и химический кружки. Сколько учеников класса не посещают ни­какие кружки?

7. После каникул классный руково­дитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников двое не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побы­вали 25 человек; в театре - 11; в цир­ке - 17; и в кино, и в театре - 6; и в кино, и в цирке - 10; и в театре, и в цирке - 4. Сколько человек побы­вали в театре, кино и цирке одновре­менно?

Решение задач ЕГЭ с помощью кругов Эйлера

Задача 1

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» - символ «&».

Крейсер & Линкор ? Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор	7000
Крейсер	4800
Линкор	4500

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Крейсер: 1 + 2 = 4800
3. Линкор: 2 + 3 = 4500

Чтобы найти Крейсер & Линкор (обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 - количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.

Задача 2

В языке запросов поискового сервера для обозначения

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Торты | Пироги	12000
Торты & Пироги	6500
Пироги	7700

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Торты ?

Решение

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

А , Б , В ).

Из условия задачи следует:

Торты │Пироги = А + Б + В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б + В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А + Б ), надо найти сектор А Торты│Пироги ) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А + Б + В -(Б + В ) = А = 1200 – 7700 = 4300

Сектор А равен 4300, следовательно

Торты = А + Б = 4300+6500 = 10800

Задача 3

|", а для логической операции "И" - символ "&".

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Пироженое & Выпечка	5100
Пироженое	9700
Пироженое | Выпечка	14200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросуВыпечка ?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение

Для решения задачи отобразим множества Пироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А , Б , В ).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А + Б = 9700

Пироженое │ Выпечка = А + Б + В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б + В ), надо найти сектор В , для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка) отнимем множество Пироженое .

Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А + Б + В -(А + Б ) = В = 14200–9700 = 4500

Сектор В равен 4500, следовательноВыпечка = Б + В = 4500+5100 = 9600

Задача 4
убывания
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".
Решение

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А , Б , В , Г ).

с паниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

с паниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4

Задача 5

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".

1	барокко | классицизм | ампир
2	барокко | (классицизм & ампир)
3	классицизм & ампир
4	барокко | классицизм

Решение

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А , Б , В , Г ).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1

Задача 6
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".

1	канарейки | щеглы | содержание
2	канарейки & содержание
3	канарейки & щеглы & содержание
4	разведение & содержание & канарейки & щеглы

Решение

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K - канарейки,

Щ – щеглы,

Р – разведение.

канарейки | терьеры | содержание	канарейки & содержание	канарейки & щеглы & содержание	разведение & содержание & канарейки & щеглы

Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу.

Задача 7 (ЕГЭ 2013)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Фрегат | Эсминец	3400
Фрегат & Эсминец	900
Фрегат	2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец ?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.