Численные методы решения дифференциальных уравнений. Численное решение дифференциальных уравнений Численные методы решения систем дифференциальных уравнений

Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: .Решением этого уравнения является дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения (рис 1.) называетсяинтегральной кривой.

Производную в каждой точкеможно геометрически интерпретировать как тангенс угланаклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.:.

Исходное уравнение определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие: , где – некоторое заданное значение аргумента, а–начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей исходному уравнению и начальному условию. Обычно определяют решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального значения, т. е. для.

Даже для простых дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удается получить аналитическое решение. Поэтому большое значение имеют численные методы решения. Численные методы позволяют определить приближенные значения искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Точкиназываютсяузлами сетки , а величина – шагом сетки. Часто рассматриваютравномерные сетки, для которых шаг постоянен,. При этом решение получается в виде таблицы, в которой каждому узлу сеткисоответствуют приближенные значения функциив узлах сетки.

Численные методы не позволяют найти решение в общем виде, зато они применимы к широкому классу дифференциальных уравнений.

Сходимость численных методов решения задачи Коши. Пусть – решение задачи Коши. Назовем погрешностью численного метода функцию , заданную в узлах сетки. В качестве абсолютной погрешности примем величину.

Численный метод решения задачи Коши называется сходящимся , если для него при. Говорят, что метод имеет-ый порядок точности, если для погрешности справедлива оценка, – константа, .

Метод Эйлера

Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Будем решать задачу Коши

на отрезке . Выберем шаги построим сетку с системой узлов. В методе Эйлера вычисляются приближенные значения функциив узлах сетки:. Заменив производнуюконечными разностями на отрезках,, получим приближенное равенство:,, которое можно переписать так:,.

Эти формулы и начальное условие являются расчетными формулами метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в том, что решение на отрезке заменяется касательной, проведенной в точкек интегральной кривой, проходящей через эту точку. После выполненияшагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией(ломаной Эйлера).

Оценка погрешности. Для оценки погрешности метода Эйлера воспользуемся следующей теоремой.

Теорема. Пусть функция удовлетворяет условиям:

.

Тогда для метода Эйлера справедлива следующая оценка погрешности: , где– длина отрезка. Мы видим, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Оценка погрешности метода Эйлера часто бывает затруднительна, так как требует вычисления производных функции . Грубую оценку погрешности даетправило Рунге (правило двойного пересчета), которое используется для различных одношаговых методов, имеющих -ый порядок точности. Правило Рунге заключается в следующем. Пусть– приближения, полученные с шагом, а– приближения, полученные с шагом. Тогда справедливо приближенное равенство:

.

Таким образом, чтобы оценить погрешность одношагового метода с шагом , нужно найти то же решение с шагоми вычислить величину, стоящую справа в последней формуле, т.е.. Так как метод Эйлера имеет первый порядок точности, т. е., то приближенное равенство имеет вид:.

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши с заданной точностью . Для этого нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение,. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: . Для метода Эйлера это условие примет вид:. Приближенным решением будут значения,.

Пример 1. Найдем решение на отрезке следующей задачи Коши:,. Возьмем шаг. Тогда.

Расчетная формула метода Эйлера имеет вид:

, .

Решение представим в виде таблицы 1:

Таблица 1

Исходное уравнение есть уравнение Бернулли. Его решение можно найти в явном виде: .

Для сравнения точного и приближенного решений представим точное решение в виде таблицы 2:

Таблица 2

Из таблицы видно, что погрешность составляет

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной. Основная задача теории дифференциальных уравнений -- изучение функций, являющихся решениями таких уравнений.

Дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции являются функциями двух и большего числа переменных.

Теория дифференциальных уравнений в частных производных более сложная и рассматривается в более полных или специальных курсах математики.

Изучение дифференциальных уравнений начнем с наиболее простого уравнения--уравнения первого порядка.

Уравнение вида

F(x,y,y") = 0,(1)

где х -- независимая переменная; у -- искомая функция; у" -- ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у", то оно принимает вид

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде f (х, у) dх - dy = 0, являющемся частным случаем более общего уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=O,(3)

где Р(х,у) и Q(х,у) -- известные функции. Уравнение в симметричной форме (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой.

Дадим два основных определения общего и частного решения уравнения.

Общим решением уравнения (2) в некоторой области G плоскости Оху называется функция у=ц(х,С), зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения (2) при любом значении постоянной С, и если при любых начальных условиях y x=x0 =y 0 таких, что (x 0 ;y 0)=G, существует единственное значение постоянной С = С 0 такое, что функция у=ц(х,С 0) удовлетворяет данным начальным условиям у=ц(х 0 ,С).

Частным решением уравнения (2) в области G называется функция у=ц(х,С 0), которая получается из общего решения у=ц(х,С) при определенном значении постоянной С=С 0 .

Геометрически общее решение у=ц(х,С) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение у=ц(х,С 0) -- одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х 0 ; у 0).

Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Суть этого метода состоит в том, что искомая интегральная кривая, являющаяся графиком частного решения, приближенно заменяется ломаной. Пусть даны дифференциальное уравнение

и начальные условия y |x=x0 =y 0 .

Найдем приближенно решение уравнения на отрезке [х 0 ,b], удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Разобьем отрезок [х 0 ,b] точками х 0 <х 1 ,<х 2 <...<х n =b на n равных частей. Пусть х 1 --х 0 =х 2 -- x 1 = ... =x n -- x n-1 = ?x. Обозначим через y i приближенные значения искомого решения в точках х i (i=1, 2, ..., n). Проведем через точки разбиения х i - прямые, параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.

Подставим значения х 0 и у 0 в правую часть уравнения y"=f(x,y) и вычислим угловой коэффициент y"=f(x 0 ,y 0) касательной к интегральной кривой в точке (х 0 ;у 0). Для нахождения приближенного значения у 1 искомого решения заменяем на отрезке [х 0 ,x 1 ,] интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х 0 ;у 0). При этом получаем

y 1 - y 0 =f(x 0 ;y 0)(x 1 - x 0),

откуда, так как х 0 , х 1 , у 0 известны, находим

y1 = y0+f(x0;y0)(x1 - x0).

Подставляя значения х 1 и y 1 , в правую часть уравнения y"=f(x,y), вычисляем угловой коэффициент y"=f(x 1 ,y 1) касательной к интегральной кривой в точке (х 1 ;y 1). Далее, заменяя на отрезке интегральную кривую отрезком касательной, находим приближенное значение решения у 2 в точке х 2:

y 2 = y 1 +f(x 1 ;y 1)(x 2 - x 1)

В этом равенстве известными являются х 1 , у 1 , х 2 , а у 2 выражается через них.

Аналогично находим

y 3 = y 2 +f(x 2 ;y 2) ?x, …, y n = y n-1 +f(x n-1 ;y n-1) ?x

Таким образом, приближенно построена искомая интегральная кривая в виде ломаной и получены приближенные значения y i искомого решения в точках х i . При этом значения у i вычисляются по формуле

y i = y i-1 +f(x i-1 ;y i-1) ?x (i=1,2, …, n).

Формула и является основной расчетной формулой метода Эйлера. Ее точность тем выше, чем меньше разность?x.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Степень точности метода Эйлера, вообще говоря, невелика. Существуют гораздо более точные методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Рассматриваем только решение задачи Коши. Система дифференциальных уравнений или одно уравнение должны быть преобразованы к виду

где ,
–n -мерные векторы; y – неизвестная вектор-функция; x – независимый аргумент,
. В частности, еслиn = 1, то система превращается в одно дифференциальное уравнение. Начальные условия задаются следующим образом:
, где
.

Если
в окрестности точки
непрерывна и имеет непрерывные частные производные поy , то теорема существования и единственности гарантирует, что существует и при том только одна непрерывная вектор-функция
, определенная внекоторой окрестности точки , удовлетворяющая уравнению (7) и условию
.

Обратим внимание на то, что окрестность точки , где определено решение, может быть весьма малой. При подходе к границе этой окрестности решение может уходить в бесконечность, колебаться, с неограниченно увеличивающейся частотой, в общем, вести себя настолько плохо, что оно не может быть продолжено за границу окрестности. Соответственно, такое решение не может быть отслежено численными методами на большем отрезке, если таковой задан в условии задачи.

Решением задачи Коши на [a ; b ] является функция. В численных методах функция заменяется таблицей (табл. 1) .

Таблица 1

Здесь
,
. Расстояние между соседними узлами таблицы, как правило, берется постоянным:
,
.

Бывают таблицы и с переменным шагом. Шаг таблицы определяется требованиями инженерной задачи и не связан с точностью нахождения решения.

Еслиy – вектор, то таблица значений решения примет вид табл. 2.

Таблица2

В системе MATHCAD вместо таблицы используется матрица, причем она является транспонированной по отношению к указанной таблице.

Решить задачу Коши с точностью ε означает получить в указанной таблице значения (числа или векторы),
, такие, что
, где
– точное решение. Возможен вариант, когда решение на отрезок, заданный в задаче, не продолжается. Тогда нужно ответить, что на всем отрезке задача не может быть решена, и нужно получить решение на отрезке, где оно существует, сделав этот отрезок по возможности больше.

Следует помнить, что точное решение
нам не известно (иначе зачем применять численный метод?). Оценка
должна быть обоснована из каких-то других соображений. Как правило, стопроцентной гарантии, что оценка выполняется, получить не удается. Поэтому используются алгоритмы оценки величины
, которые оказываются эффективными в большинстве инженерных задач.

Общий принцип решения задачи Коши следующий. Отрезок [a ; b ] разбивается на ряд отрезков узлами интегрирования . Число узловk не обязано совпадать с числом узлов m итоговой таблицы значений решений (табл.1,2). Как правило, k > m . Для простоты расстояние между узлами будем считать постоянным,
;h называется шагом интегрирования. Затем, по определенным алгоритмам, зная значения приi < s , вычисляем значение . Чем меньше шагh , тем меньше значение будет отличаться от значения точного решения
. Шагh в этом разбиении уже определяется не по требованиям инженерной задачи, а по требуемой точности решения задачи Коши. Кроме того, он должен выбираться так, чтобы на одном шаге табл. 1, 2 укладывалось целое число шагов h . В этом случае значения y , полученные в результате счета с шагом h в точках
, используются соответственно в табл. 1 или 2.

Простейшим алгоритмом решения задачи Коши для уравнения (7) является метод Эйлера. Формула расчета такова:

(8)

Посмотрим, как оценивается точность находимого решения. Предположим, что
– точное решение задачи Коши, а также, что
, хотя это почти всегда не так. Тогда, где константаC зависит от функции
в окрестности точки
. Таким образом, на одном шаге интегрирования (нахождения решения) мы получаем ошибку порядка. Так как шагов приходится сделать
, то естественно ожидать, что суммарная ошибка в последней точке
будет порядка
, т.е. порядкаh . Поэтому метод Эйлера называют методом первого порядка, т.е. ошибка имеет порядок первой степени шага h . В действительности же на одном шаге интегрирования можно обосновать следующую оценку. Пусть
– точное решение задачи Коши с начальным условием
. Ясно, что
не совпадает с искомым точным решением
исходной задачи Коши уравнения (7). Однако при малыхh и «хорошей» функции
эти два точных решения будут отличаться мало. Формула остаточного члена формулы Тейлора гарантирует, что
, это и дает ошибку шага интегрирования. Итоговая ошибка складывается не только из ошибок на каждом шаге интегрирования, но и из отклонений искомого точного решения
от точных решений
,
, причем эти отклонения могут становиться очень большими. Однако итоговая оценка ошибки в методе Эйлера при «хорошей» функции
все равно имеет вид
,
.

При применении метода Эйлера счет идет следующим образом. По заданной точности ε определяем ориентировочно шаг
. Определяем число шагов
и снова ориентировочно выбираем шаг
. Затем опять корректируем его в сторону уменьшения, чтобы на каждом шаге табл. 1 или 2 укладывалось целое число шагов интегрирования. Получаем шагh . По формуле (8), зная и, находим. По найденному значениюи
находими так далее.

Полученный результат может не иметь желаемой точности, и, как правило, не будет ее иметь. Поэтому уменьшаем шаг в два раза и снова применяем метод Эйлера. Сравниваем результаты первого применения метода и второго в одинаковых точках . Если все расхождения меньше заданной точности, то можно считать последний результат счета ответом к задаче. Если нет, то шаг снова уменьшаем вдвое и еще раз применяем метод Эйлера. Теперь сравниваем результаты последнего и предпоследнего применения метода и т.д.

Метод Эйлера применяется сравнительно редко из-за того, что для достижения заданной точности ε требуется выполнить большое число шагов, имеющее порядок
. Однако если
имеет разрывы или разрывные производные, то методы более высоких порядков будут давать такую же ошибку, как и метод Эйлера. То есть потребуется такой же объем вычислений, как и в методе Эйлера.

Из методов более высоких порядков чаще других используется метод Рунге – Кутты четвертого порядка. В нем вычисления ведутся по формулам

Этот метод при наличии непрерывных четвертых производных у функции
дает ошибку на одном шаге порядка, т.е. в обозначениях, введенных выше,
. В целом на отрезке интегрирования при условии, что точное решение определено на этом отрезке, ошибка интегрирования будет иметь порядок.

Выбор шага интегрирования происходит так же, как было описано в методе Эйлера, за исключением того, что первоначально ориентировочное значение шага выбирается из соотношения
, т.е.
.

В большей части программ, применяемых для решения дифференциальных уравнений, используется автоматический выбор шага. Суть его такова. Пусть уже вычислено значение . Вычисляется значение
с шагомh , выбранном при вычислении . Затем выполняются два шага интегрирования с шагом, т.е. добавляется лишний узел
в середине между узламии
. Вычисляются два значения
и
в узлах
и
. Вычисляется величина
, гдеp – порядок метода. Если δ меньше точности, заданной пользователем, то полагают
. Если нет, то выбирают новый шагh равным и повторяют проверку точности. Если же при первой проверкеδ много меньше заданной точности, то делается попытка увеличить шаг. Для этого вычисляется
в узле
с шагомh из узла
и вычисляется
с шагом 2h из узла . Вычисляется величина
. Еслименьше заданной точности, то шаг 2h считается приемлемым. В этом случае назначают новый шаг
,
,
. Еслибольше точности, то шаг оставляют прежним.

Нужно учесть, что программы с автоматическим выбором шага интегрирования добиваются достижения заданной точности лишь при выполнении одного шага. Это происходит за счет точности аппроксимации решения, проходящего через точку
, т.е. аппроксимации решения
. Такие программы не учитывают, насколько решение
отличается от искомого решения
. Поэтому нет гарантии, что на всем отрезке интегрирования заданная точность будет достигнута.

Описанные методы Эйлера и Рунге – Кутты относятся к группе одношаговых методов. Это означает, что для вычисления
в точке
достаточно знать значениев узле. Естественно ожидать, что если используется больше информации о решении, учитываются несколько предыдущих его значений
,
и т.д., то новое значение
можно будет найти точнее. Такая стратегия используется в многошаговых методах. Для их описания введем обозначение
.

Представителями многошаговых методов служат методы Адамса – Башфорта:

Метод k -го порядка дает локальную погрешность порядка
или глобальную – порядка.

Указанные методы относятся к группе экстраполяционных, т.е. новое значение явно выражается через предыдущие. Другой тип – интерполяционные методы. В них на каждом шаге приходится решать нелинейное уравнение относительно нового значения . В качестве примера возьмем методы Адамса –Моултона:

Для применения этих методов в начале счета нужно знать несколько значений
(их число зависит от порядка метода). Эти значения нужно получить другими методами, например методом Рунге – Кутты с маленьким шагом (для повышения точности). Интерполяционные методы во многих случаях оказываются более устойчивыми и позволяют делать бόльшие шаги, чем экстраполяционные.

Чтобы не решать в интерполяционных методах нелинейное уравнение на каждом шаге, применяют предиктор-корректорные методы Адамса. Суть заключается в том, что сначала применяется на шаге экстраполяционный метод и полученное значение
подставляется в правую часть интерполяционного метода. Например, в методе второго порядка

Для решения дифференциальных уравнений необходимо знать значение зависимой переменной и ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если дополнительные условия задаются при одном значении неизвестной, т.е. независимой переменной., то такая задача называется задачей Коши. Если начальные условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. При решении дифференциальных уравнений различных видов, функция, значения которой требуется определить вычисляется в виде таблицы.

Классификация численных методов для решения дифр. Ур. Типов.

Задача Коши – одношаговые: методы Эйлера, методы Рунге- Кутта; – многошаговые: метод Майна, Метод Адамса. Кроевая задача – метод сведения кроевой задачи к задаче Коши; –метод конечных разностей.

При решении задачи Коши должны быть заданы дифр. ур. порядка n или система дифр. ур. первого порядка из n уравнений и n дополнительных условий для ее решения. Дополнительные условия должны быть заданы при одном и том же значении независимой переменной. При решении кроевой задачи должны быть заданы ур. n-ого порядка или система из n уравнений и n дополнительных условий при двух или более значениях независимой переменной. При решении задачи Коши искомая функция определяется дискретно в виде таблицы с некоторым заданным шагом . При определении каждого очередного значения можно использовать информацию об одной предыдущей точке. В этом случае методы называют одношаговым, либо можно использовать информацию о нескольких предыдущих точках – многошаговые методы.

Обыкновенные дифференциальные ур. Задача Коши. Одношаговые методы. Метод Эйлера.

Задано: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y(x 0)=y 0 . Известно: f(x,y), x 0 , y 0 . Определить дискретное решение: x i , y i , i=0,1,…,n. Метод Эйлера основан на разложении функции в ряд Тейлора окрестности точки x 0 . Окрестность описывается шагом h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x­ 0)+…+ (1). В методе Эйлера учитываются только два слагаемых ряда Тейлора. Введем обозначения. Формула Эйлера примет вид: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), i=0,1,2…, x i+1 =x i +h

Формула (2) является формулой простого метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация формулы Эйлера

Для получения численного решения используется ф-ла касательной, проходящей через урав. касательной: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x ­0), x=x 1 ,

y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), т.к.

x-x 0 =h, то y 1 =y 0 +hf(x 0 ,y 0), f(x 0 ,y 0)=tg £.

Модифицированный метод Эйлера

Задано: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Известно: f(x,y), x 0 , y 0 . Определить: зависимость y от x в виде табличной дискретной функции: x i , y i , i=0,1,…,n.

Геометрическая интерпертация

1) вычислим тангенс угла наклона в начальной точке

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Вычислим значение  y n+1 на

конце шага по формуле Эйлера

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Вычислим тангенс угла наклона

касательной в n+1 точке: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Вычислим среднее арифметическое углов

наклона: tg £=½. 5) Используя тангенс угла наклона пересчитаем значение функции в n+1 точке: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h – формула модифицированного метода Эйлера. Можно показать, что полученная ф-ла соответствует разложению ф-ии в ряд Тейлора, включая слагаемы (до h 2). Модифицированный метод Эйлнра в отличии от простого является методом вторго порядка точности, т.к. погрешность пропорциональна h 2 .

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y (x). Их можно записать в виде

Где х - независимая переменная.

Наивысший порядок n входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методы используют геометрические построения.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями. При этом необходимо подчеркнуть, что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных компьютеров.

Простейшим численным методом решения задачи Коши для ОДУ является метод Эйлера. Рассмотрим уравнение в окрестностях узлов (i=1,2,3,…) и заменим в левой части производную правой разностью. При этом значения функции узлах заменим значениями сеточной функции:

Полученная аппроксимация ДУ имеет первый порядок, поскольку при замене на допускается погрешность.

Заметим, что из уравнения следует

Поэтому представляет собой приближенное нахождение значение функции в точке при помощи разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием членов второго и более высоких порядков. Другими словами, приращение функции полагается равным её дифференциалу.

Полагая i=0, с помощью соотношения находим з значение сеточной функции при:

Требуемое здесь значение задано начальным условием, т.е.

Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

Построенный алгоритм называется методом Эйлера

Рисунок - 19 Метод Эйлера

Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке. Изображены первые два шага, т.е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках. Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения. При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку А (x 0 ,y 0). Точки B,C получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ - отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон характеризуется значением производной. Погрешность появляется потому, что приращение значения функции при переходе от х 0 к х 1 заменяется приращением ординаты касательной к кривой 0 в точке А. Касательная ВС уже проводится к другой интегральной кривой 1. таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге приближенное решение переходит на другую интегральную кривую.