90 градусов в радианах. Радианы в градусы, градусы в радианы

С давних времён люди измеряют углы. Но что такое угол? Геометрия даёт нам ответ: «Угол - это два луча, проведённые из заданной точки» . Углы бывают разные: тупые, острые, прямые , развёрнутые, центральные, смежные . Возьмём точку O и проведём из неё луч O. A. Теперь из этой же точки проведём луч OB, параллельный лучу OA и направленный с ним в одну сторону. Про такие лучи говорят, что угол между ними составляет 0° (ноль градусов). Если мы теперь направим луч OB параллельно лучу OA, но в противоположную сторону, то получим развёрнутый угол, равный 180°.

Что означают градус и радиан

Так вот, мерой расхождения двух лучей, проведённых из одной точки друг от друга, будет градусное расстояние . Что такое градус? В переводе «градус» означает «шаг». Всего таких «шагов» может быть 360°. Это число было придумано ещё в глубокой древности математиками и астрономами, пользовавшимися шестидесятиричной системой счисления. Они брали круг, из центра которого проводили два радиуса. Мерой расхождения этих радиусов друг от друга был градус. Когда расстояние между радиусами в градусах отсчитывали против часовой стрелки, такой угол считался положительным, а когда против часовой - отрицательным.

Вращая один радиус относительно другого против часовой стрелки, мы будем получать разные углы. Когда эти отрезки совпадают, то между ними будет 0°, когда же отрезки отсекают сектор круга, равный одной четверти полного круга, то угол между ними составит 90°. Вращая дальше таким образом, мы получим следующие углы: 180° - радиусы лежат на диаметре круга и делят его пополам, 270° - радиусы отсекают три четверти круга, 360° - радиусы совпадают. Таким образом, полный круг составляет 360°. Для измерения углов существует транспортир .

Кроме градусной меры для измерения углов применяют меру радианную . Радиан - это мера центрального угла. «Радиан» означает «связанный с радиусом». Если из центра окружности радиусом R провести два луча, то они на ней отсекут дугу, длина которой l. Так вот, угол α между указанными лучами называется центральным . Чтобы его измерить, нужно длину дуги окружности разделить на её радиус: α=l/R. Получится значение, выраженное в радианах (рад). Поскольку любому углу на плоскости можно сопоставить такой же центральный угол, то встаёт вопрос, как от обычной градусной меры перейти к радианной.

Как перевести градусы в радианы и обратно

Мы знаем, что центральному углу в 360° соответствует вся окружность, длина которой вычисляется по известной формуле l=2 π R. Разделим это выражение на R и получим: α= 2 π R/R=2 π рад≈6,28 рад. Если взять какое-то угловое расстояние в A град., то его радианная мера α получится из пропорции: А/360°=α/(2 π). Решив это уравнение, получим формулу перевода градусов в радианы - α=(π/180°) А, или формулу перевода радиан в градусы - А=(180°/π) α. Из этих формул мы придём к следующим соотношениям:

• 1 рад=180°/π≈57,2958°;
• 1°=π/180 рад≈0,01745 рад.

Сколько составит 180 градусов в радианах и 90 градусов в радианах? Воспользовавшись полученными выше формулами, придём к таким соотношениям:

• 90°=π/2 рад≈1,571 рад;
• 180°=π рад≈3,142 рад.

Итак, как правильно переводить градусную меру в радианную и обратно? В этом вам поможет следующее правило:

Чтобы найти число радиан, нужно градусную меру умножить на число π и поделить на 180. Чтобы найти число градусов, нужно радианную меру умножить на 180 и поделить на число π .

Примеры решения задач

Задача 1. Чему равна длина дуги окружности, если R=1 см, α=1 рад?

Решение. По формуле длины дуги найдём: l=R α=1 1=1 см.

Задача 2. Сколько рад в 45°?

Решение. Используя правило, получим: α=45 π/180=π/4 рад.

Задача 3. Сколько град. в π² рад?

Решение. Используя правило, найдём: А=π² 180/π=180π град.≈565,5°.

Задача 4. Чему равен средний угловой размер лунного диска, если среднее расстояние до Луны равно R=384399 км, а диаметр самой Луны D=3476 км?

Решение. Если мысленно на Луну с Земли провести два луча, которые пройдут через крайние точки диаметра её диска, мы получим центральный угол, исходящий из глаз наблюдателя. Поскольку расстояние до Луны намного превышает её диаметр, то этот диаметр можно будет приравнять длине дуги l окружности, образуемой радиусом R, т. е. D≈l=α R. Тогда искомый угловой размер составит: α≈D/R=3476/384399=0,00904268742 рад=0,51810782462°≈31’05”≈0,5°. Итак, видимый угловой диаметр Луны равен полградуса.

Минуты и секунды

Издревле для измерения углов пользовались так называемой шестидесятиричной системой исчисления . В этой системе вся окружность делится на 360°. Затем каждый градус делят на 60 минут, а каждую минуту - на 60 секунд. Минуты обозначаются значком «"”, а секунды - значком «””. Отсюда пошло измерение времени. Кроме того, циферблат - это символ круга, а стрелки часов отмеряют центральные углы. Для перевода этих единиц используйте следующие соотношения:

• 1°=60’=3600”;
• 1’=(1/60)°=60”;
• 1”=(1/3600)°=(1/60)’;
• 1 рад≈3438′.

Таблица значений тригонометрических функций

Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .

Примеры :
1. Синус пи .
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи .
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градусов
(цифровые значения "как по таблицам Брадиса")