Площадь треугольника онлайн калькулятор

Нижче наведені формули знаходження площі довільного трикутника , які підійдуть для знаходження площі будь-якого трикутника, незалежно від його властивостей, кутів або розмірів. Формули представлені у вигляді картинки, тут же наведені пояснення щодо застосування або обґрунтування їх правильності. Також, на окремому малюнку вказані відповідності літерних позначень у формулах і графічних позначень на кресленні.

Примітка . Якщо ж трикутник має особливі властивості (рівнобедрений, прямокутний, рівносторонній), можна використовувати формули, наведені нижче, а також додатково спеціальні, вірні тільки для трикутників з даними властивостями, формули:

• "Формули площі равносторонього трикутника"

Формули площi трикутника

Пояснення до формул:

a, b, c - довжини сторін трикутника, площу якого ми хочемо знайти;
r - радіус вписаного в трикутник кола;
R - радіус описаного навколо трикутника кола;
h - висота трикутника, що опущена на сторону;
p - напівпериметр трикутника, 1/2 суми його сторін (периметра);
α - кут, протилежний стороні a трикутника;
β - кут, протилежний стороні b трикутника;
γ - кут, протилежний стороні c трикутника;
ha, hb, hc - висота трикутника, що опущена на сторону a, b, c ;
відповідно.

Зверніть увагу, що наведені позначення відповідають малюнку, який знаходиться вище, щоб при вирішенні реального завдання з геометрії Вам візуально було легше підставити в потрібні місця формули правильні значення.

• Площа трикутника дорівнює половині твору висоти трикутника на довжину сторони, на яку ця висота опущена (Формула 1). Правильність цієї формули можна зрозуміти логічно. Висота, опущена на основу, розіб"є довільний трикутник на два прямокутних. Якщо добудувати кожен з них до прямокутника з розмірами b і h , то, стає зрозуміло, що, площа даних трикутників буде дорівнювати рівно половині площі прямокутника (Sпр = bh ).
• Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними (Формула 2). (див. Приклад рішення задачі з використанням цієї формули нижче). Незважаючи на те, що вона не здається схожою на попередню, вона легко може бути в неї перетворена. Якщо з кута B опустити висоту на сторону b , виявиться, що твір боку a на синус кута γ за властивостями синуса в прямокутному трикутнику дорівнює проведеній нами висоті трикутника, що і дасть попередню формулу.
• Площа довільного трикутника може бути знайдена через твір половини радіуса вписаного в нього кола на суму довжин усіх його сторін (Формула 3), простіше кажучи, потрібно напівпериметр трикутника помножити на радіус вписаного кола (так легше запам"ятати).
• Площу довільного трикутника можна знайти, розділивши твір всіх його сторін на 4 радіуси описаного навколо нього кола (Формула 4).
• Формула 5 являє собою знаходження площі трикутника через довжини його сторін і його напівпериметр (половину суми всіх його сторін).
• Формула Герона (6) - це визначння тієї ж самої формули без використання поняття напівпериметр, тільки через довжини сторін.
• Площа довільного трикутника дорівнює добутку квадрату сторони трикутника на синуси прилеглих до цієї сторони кутів, поділеного на подвійний синус протилежного цій стороні кута (Формула 7).
• Площу довільного трикутника можна знайти як добуток двох квадратів описаного навколо нього кола на синуси кожного з його кутів . (Формула 8).
• Якщо відома довжина одного боку і величини двох прилеглих до нього кутів, то площа трикутника може бути знайдена як квадрат цього боку, поділений на подвійну суму котангенсів цих кутів (Формула 9).
• Якщо відома тільки довжина кожної з висот трикутника (Формула 10), то площа такого трикутника зворотно пропорційна довжині цих висот, як по Формулі Герона .
• Формула 11 дозволяє обчислити площу трикутника за координатами його вершин, які задані у вигляді значень (x; y) для кожної з вершин. Зверніть увагу, що вийшло значення, яке необхідно взяти по модулю, так як координати окремих (або навіть усіх) вершин можуть перебувати в області негативних значень.

Примітка . Далі наведені приклади розв"язання задач з геометрії на знаходження площі трикутника. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії і схожої на таку тут немає - пишіть про це в форумі. У рішеннях замість символу "квадратний корінь" може застосовуватися функція sqrt (), в якій sqrt - символ квадратного кореня, а в дужках зазначено підкореневий вираз. Іноді для простих підкореневих виразів може використовуватися символ √.

Завдання

Сторони трикутника дорівнюють 5 і 6 см. Кут між ними становить 60 градусів. Знайдіть площу трикутника.

Рішення .

Для вирішення цього завдання використовуємо формулу номер два з теоретичної частини уроку.
Площа трикутника може бути знайдена через довжини двох сторін і синус кута між ними і буде дорівнює
S=1/2 ab sin γ

Оскільки всі необхідні дані для вирішення (відповідно до формули) у нас є, нам залишається тільки підставити значення з умови задачі в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

У таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо і підставами в вираз значення . Він буде дорівнює кореню з трьох на два.
S = 15 √3 / 2

Відповідь : 7,5 √3 (в залежності від вимог викладача, ймовірно, можна залишити і 15 √3 / 2)

Завдання

Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 3 см.

Рішення .

Площа трикутника можна знайти за формулою Герона:

Оскільки a = b = c формула площі рівностороннього трикутника набуде вигляду:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Відповідь : 9 √3 / 4.

Завдання

У скільки разів збільшиться площа трикутника, якщо сторони збільшити в 4 рази?

Рішення.

Оскільки розміри сторін трикутника нам невідомі, то для вирішення завдання будемо вважати, що довжини сторін відповідно рівні довільним числах a, b, c. Тоді для того, щоб відповісти на питання завдання, знайдемо площу даного трикутника, а потім знайдемо площу трикутника, сторони якого в чотири рази більше. Співвідношення площ цих трикутників і дасть нам відповідь на завдання.

Далі наведемо текстове пояснення рішення задачі по кроках. Однак, в самому кінці, це ж саме рішення приведено в більш зручному для сприйняття графічному вигляді. Бажаючі можуть відразу опуститися в низ рішення.

Для вирішення використовуємо формулу Герона (див. Вище в теоретичній частині уроку). Виглядає вона наступним чином:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(див. перший рядок малюнка внизу)

Довжини сторін довільного трикутника задані змінними a, b, c.
Якщо сторони збільшити в 4 рази, то площа нового трикутника з складе:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(див. другий рядок на малюнку внизу)

Як видно, 4 - загальний множник, який можна винести за дужки з усіх чотирьох виразів за загальними правилами математики.
тоді

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьому рядку малюнка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертий рядок

З числа 256 прекрасно витягується квадратний корінь, тому винесемо його з-під кореня
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(див. п"ятий рядок малюнка внизу)

Щоб відповісти на питання, поставлене в завданні, нам достатньо розділити площа отриманого трикутника, на площу початкового.
Визначимо співвідношення площ, розділивши вираження один на одного і скоротивши, вийшла дріб.

S 2 / S = 16
(див. внизу докладніше запис у вигляді дробу і її скорочення - в останньому рядку)

На малюнку логіка обчислення рішення, описаного вище, наведена вже у вигляді формул (одна за одною)

Відповідь : Площа трикутника збільшиться в 16 разів

Площадь треугольника - формулы и примеры решения задач

Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров. Формулы представлены в виде картинки, здесь же приведены пояснения по применению или обоснованию их правильности. Также на отдельном рисунке указаны соответствия буквенных обозначений в формулах и графических обозначений на чертеже.

Примечание . Если же треугольник обладает особыми свойствами (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), можно использовать формулы, приведенные ниже, а также дополнительно специальные, верные только для треугольников с данными свойствами, формулы:

• "Формулы площади равностороннего треугольника"

Формулы площади треугольника

Пояснения к формулам :
a, b, c - длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r - радиус вписанной в треугольник окружности
R - радиус описанной вокруг треугольника окружности
h - высота треугольника, опущенная на сторону
p - полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра)
α - угол, противолежащий стороне a треугольника
β - угол, противолежащий стороне b треугольника
γ - угол, противолежащий стороне c треугольника
h a , h b , h c - высота треугольника, опущенная на сторону a , b , c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

• Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
• Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
• Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
• Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
• Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)
• Формула Герона (6) - это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
• Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
• Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
• Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
• Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
• Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин , которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин. Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

Примечание . Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет - пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа "квадратный корень" может применяться функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение . Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника .

Решение .

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока.
Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна
S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов . Он будет равен корню из трех на два.
S = 15 √3 / 2

Ответ : 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Задача. Найти площадь равностороннего треугольника

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение .

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Ответ : 9 √3 / 4.

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение .

Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(см. первую строку рисунка внизу)

Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(см. вторую строку на рисунке внизу)

Как видно, 4 - общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьей строке рисунка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертая строка

Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(см. пятую строку рисунка внизу)

Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

Понятие площади

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника , у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется

Тогда площадь треугольника равняется

Ответ: $15$.

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{1}{2}αh$

где $a$ - длина стороны, $h$ - высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $h\cdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $h\cdot HC$. Тогда

$S_ABH=\frac{1}{2}h\cdot AH$, $S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot AH+\frac{1}{2}h\cdot HC=\frac{1}{2}h\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Формула Герона

Теорема 2

Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом

$S=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим следующий рисунок:

По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим

Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Из этих двух соотношений получаем равенство

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$

$h^2=γ^2-(\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$

$h^2=\frac{(α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$

$h^2=\frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$

Так как $ρ=\frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит

$h^2=\frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$

$h^2=\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$

$h=\sqrt{\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$

$h=\frac{2}{β}\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

По теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2} βh=\frac{β}{2}\cdot \frac{2}{β} \sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

Начальный уровень

Площадь треугольника и четырехугольника. Примеры решения задач (2019)

Определение площади

Что такое площадь? Странный вопрос - не правда ли? В обычной жизни мы привыкли к тому, что у всяких плоских фигур (таких как поверхность стола, стула, пол наших квартир и т.д.) есть не только длина и ширина, но и какая-то еще характеристика, которую мы, не задумываясь, называем площадью. А теперь вот давай задумаемся: что же все-таки такое площадь?

Давай начнем с самого простого. За основу берется тот факт, что:

Другими словами, площадь квадрата со стороной метр мы считаем одним «метром площади».

Посмотри внимательно на картинку и убедись, что там действительно нарисован - «метр квадратный»! И запомни обозначение.

А вот теперь хитрый вопрос: а что такое? Площадь квадрата со стороной? А вот и нет!

Смотри: квадрат со стороной.

А чтобы получить квадратных метра (то есть,), мы должны нарисовать, например так:

А как получить, скажем, ? Ну например так:

Да и вообще, если мы возьмем прямоугольник, у которого стороны равны метров и метров, то в этом прямоугольнике:

Поместится ровно квадратных метров. Посмотри внимательно: у нас есть «слоев», в каждом из которых ровно квадратных метров.

Значит, всего в прямоугольнике размером x поместилось квадратных метров. Вот это число, сколько квадратных метров поместилось в прямоугольнике, и есть его площадь .

А если фигура - вовсе не прямоугольник, а какая-то абракадабра?

Удивлю тебя - бывают такие ужасные абракадабры, для которых совершенно невозможно установить сколько там квадратных метров. Даже приблизительно! К сожалению нарисовать такие фигуры - невозможно.

Но они есть! Они похожи, например, на такую «расческу» с очень мелкими зубьями.

И вот, для нормальных фигур можно интуитивно (то есть для себя) считать,что площадь фигуры - это такое число, сколько в этой фигуре «поместится» квадратных единиц (метров, сантиметров и т.д.) Более строгое, «настоящее» определение площади смотри в следующих уровнях теории.

И представь себе, математики для многих фигур научились выражать площади через какие-то линейные (те, что можно измерить линейкой) элементы фигур. Эти выражения называются «формулы площади». Формул этих довольно много - математики долго старались. Ты постарайся запомнить сначала самые простые и основные формулы, а потом уже те, что посложнее.

Формулы площади

Квадрат

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Треугольник (произвольный)

Для треугольника есть сразу несколько формул площади.

Основная формула

Вторая основная формула

Третья формула

Какую же формулу выбрать для твоей задачки? Основными являются формулы 1 и 2. Третью формулу нужно применять, если тебе все дано: и три стороны, и радиус вписанной окружности. Но так ведь не бывает, верно? Поэтому формулу 3 мы используем , скорее наоборот, для нахождения радиуса вписанной окружности . Тогда нужно найти площадь по одной из формул 1, 2 или 4, а потом уже радиус: .

Ну и формула 4 позволяет по -м сторонам с помощью длиннющей арифметики находить площадь. И не ошибайся в арифметике, когда будешь применять формулу Герона!

Произвольный четырехугольник

Для произвольного четырехугольника больше ничего нет, а вот для «хороших» четырехугольников - есть другие формулы.

Параллелограмм

Основная формула

Вторая формула

Ромб

У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому основной для него становится формула:

Вторая формула

А дополнительной формулой становится

Трапеция

Основная формула

Вторая формула

«Хитрые вопросы о площади»

Кроме задачек, в которых просят просто найти площадь, встречаются еще всякие вопросики. Ну вот например:

Давай ответим на этот вопрос двумя способами. Первый способ - формальный: используем формулу площади квадрата. Итак, было, значит - площадь увеличилась в раз!

В случае с квадратами есть и второй способ «пощупать» и убедится напрямую в этом числе.

Рисуем:

Если же у тебя не квадрат, то остается только подставлять новые значения в формулы - и не удивляйся, если вдруг числа получатся довольно большими.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Прямоугольный треугольник

Треугольник - самая простая геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех вершин. Благодаря своей простоте треугольник с античных времен используется для проведения различных измерений, а сегодня фигура может пригодиться для решения практических и бытовых задач.

Особенности треугольника

Фигура издревле используется для вычислений, к примеру, землемеры и астрономы оперируют свойствами треугольников для вычисления площадей и расстояний. Через площадь этой фигуры легко выразить площадь любого n-угольника, и это свойство было использовано античными учеными для выведения формул площадей многоугольников. Постоянная работа с треугольниками, в особенности с прямоугольным треугольником, стала основной для целого раздела математики - тригонометрии.

Геометрия треугольника

Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.

Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:

• остроугольный - все углы фигуры острые;
• тупоугольный - у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
• прямоугольный - фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
• равнобедренный - треугольник с двумя равными сторонами;
• равносторонний - треугольник со всеми равными сторонами.
• В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.

Площадь треугольника

Площадь - это оценка того, какую часть плоскости ограничивает фигура. Площадь треугольника можно найти шестью способами, оперируя сторонами, высотой, величинами углов, радиусом вписанной или описанной окружности, а также используя формулу Герона или вычисляя двойной интеграл по линиям, ограничивающим плоскость. Самая простая формула для вычисления площади треугольника выглядит как:

где a - сторона треугольника, h - его высота.

Однако на практике нам не всегда удобно находить высоту геометрической фигуры. Алгоритм нашего калькулятора позволяет вычислять площадь, зная:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• одну сторону и два угла.

Для определения площади через три стороны мы используем формулу Герона:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

где p - полупериметр треугольника.

Вычисление площади по двум сторонам и углу производятся по классической формуле:

S = a × b × sin(alfa),

где alfa - угол между сторонами a и b.

Для определения площади через одну сторону и два угла мы используем соотношение, что:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Используя простую пропорцию, мы определяем длину второй стороны, после чего рассчитываем площадь по формуле S = a × b × sin(alfa). Данный алгоритм полностью автоматизирован и вам необходимо только внести заданные переменные и получить результат. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Тротуарная плитка

Допустим, вы хотите замостить пол треугольной плиткой, и чтобы определить количество необходимого материала, вам следует узнать площадь одной плитки и площадь пола. Пусть нужно обработать 6 квадратных метров поверхности, используя плитку, размеры которой составляют a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, что для вычисления площади треугольника калькулятор использует формулу Герона и выдаст результат:

Таким образом, площадь одного элемента плитки составит 0,021 квадратный метр, и вам понадобится 6/0,021 = 285 треугольников для благоустройства пола. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку - числа, которые удовлетворяют . И верно, наш калькулятор также рассчитал все углы треугольника, и угол гамма составляет именно 90 градусов.

Школьная задача

В школьной задаче необходимо отыскать площадь треугольника, зная, что сторона a = 5 см, а углы альфа и бета раны 30 и 50 градусов соответственно. Для решения этой задачи вручную мы вначале нашли бы значение стороны b, используя пропорцию соотношения сторон и синусов противолежащих углов, после чего определили площадь с использованием простой формулы S = a × b × sin(alfa). Давайте сэкономим время, введем данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ

При использовании калькулятора важно корректно указать углы и стороны, иначе результат будет неверным.

Заключение

Треугольник - уникальная фигура, которая встречается как в реальной жизни, так и в абстрактных расчетах. Используйте наш онлайн-калькулятор для определения площади треугольников любых видов.