Главная › Жкх › Как найти площадь прямоугольника если известен. Площадь прямоугольника

Как найти площадь прямоугольника если известен. Площадь прямоугольника

С таким понятием, как площадь, нам приходится сталкиваться в своей жизни повседневно. Так, например, при строительстве дома ее нужно знать для того, чтобы рассчитать количество необходимого материала. Размер садового участка также будет характеризоваться площадью. Даже ремонт в квартире невозможно сделать без этого определения. Поэтому вопрос, как найти площадь прямоугольника, на нашем жизненном пути встает очень часто и является важным не только для школьников.

Для тех, кто не знает, прямоугольник - это плоская фигура, у которой противоположные стороны равны, а углы составляют 90°. Для обозначения площади в математике используют английскую букву S. Ее измеряют в квадратных единицах: метрах, сантиметрах и так далее.

Теперь попытаемся дать подробный ответ на вопрос, как найти площадь прямоугольника. Существует несколько способов определения этой величины. Наиболее часто мы сталкиваемся со способом определения площади с помощью ширины и длины.

Возьмем прямоугольник с шириной b и длиной k. Для вычисления площади данного прямоугольника необходимо ширину умножить на длину. Это все можно представить в виде формулы, которая будет выглядеть так: S = b * k

А теперь рассмотрим этот способ на конкретном примере. Необходимо определить площадь садового участка с шириной 2 метра и длиной 7 метров.

S = 2 * 7 = 14 м2

В математике, особенно в старших классах, приходится определять площадь иными способами, так как во многих случаях ни длина, ни ширина прямоугольника нам не известна. Вместе с тем имеют место другие известные величины. Как найти площадь прямоугольника в этом случае?

Если нам известна длина диагонали и один из углов, составляющий диагональ с любой стороной прямоугольника, то в этом случае потребуется вспомнить о площади прямоугольного треугольника. Ведь если разобраться, то прямоугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Итак, вернемся к определяемой величине. Для начала необходимо определить косинус угла. Полученную величину умножить на длину диагонали. В итоге получим длину одной из сторон прямоугольника. Аналогично, но уже с помощью определения синуса, можно определить длину второй стороны. А как найти площадь прямоугольника теперь? Да очень просто, перемножить полученные величины.

В виде формулы это будет выглядеть так:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , где d- длина диагонали

Еще один способ определения площади прямоугольника - через вписанную в него окружность. Он применяется в том случае, если прямоугольник является квадратом. Для использования данного способа необходимо знать радиус окружности. Как вычислить площадь прямоугольника таким способом? Конечно же, по формуле. Доказывать мы ее не будем. А выглядит она так: S = 4 * r2, где r -радиус.

Случается так, что вместо радиуса нам известен диаметр вписанной окружности. Тогда формула будет выглядеть так:

S=d2,где d - диаметр.

Если известна одна из сторон и периметр, то как узнать площадь прямоугольника в этом случае? Для этого необходимо произвести ряд простых вычислений. Как мы знаем, противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому от значения периметра необходимо отнять известную длину, умноженную на два. Полученный результат разделить на два и получим длину второй стороны. Ну, а дальше стандартный прием, перемножаем обе стороны и получаем площадь прямоугольника. В виде формулы это будет выглядеть так:

S=b* (P - 2*b), где b - длина стороны, P - периметр.

Как видим площадь прямоугольника можно определять различными способами. Все зависит от того, какие величины нам известны перед рассмотрением данного вопроса. Конечно же, последние методы исчисления в жизни практически не встречаются, но могут пригодиться для решений многих задач в школе. Возможно, и для решения ваших задач эта статья окажется полезной.

Периодически нам требуется знать площадь и объем комнаты. Эти данные могут понадобиться при проектировании отопления и вентиляции, при закупке стройматериалов и еще во многих других ситуациях. Также периодически требуется знать площадь стен. Все эти данные вычисляются легко, но предварительно придется поработать рулеткой — измерять все требуемые габариты. О том, как посчитать площадь комнаты и стен, объем помещения и пойдет речь дальше.

Площадь комнаты в квадратных метрах

Рулетка. Лучше — с фиксатором, но подойдет и обычная.
Бумага и карандаш или ручка.
Калькулятор (или считайте в столбик или в уме).

Набор инструментов нехитрый, найдется в каждом хозяйстве. Проще измерения проводить с помощником, но можно справиться и самостоятельно.

Для начала надо измерить длину стен. Делать это желательно вдоль стен, но если все они заставлены тяжелой мебелью, можно проводить измерения и посередине. Только в этом случае следите чтобы лента рулетки лежала вдоль стен, а не наискосок — погрешность измерений будет меньше.

Прямоугольная комната

Если помещение правильной формы, без выступающих частей, вычислить площадь комнаты просто. Измеряете длину и ширину, записываете на бумажке. Цифры пишите в метрах, после запятой ставите сантиметры. Например, длина 4,35 м (430 см), ширина 3,25 м (325 см).

Найденные цифры перемножаем, получаем площадь комнаты в квадратных метрах. Если обратимся к нашему примеру, то получится следующее: 4,35 м * 3,25 м = 14,1375 кв. м. В данной величине оставляют обычно две цифры после запятой, значит округляем. Итого, рассчитанная квадратура комнаты 14,14 квадратных метров.

Помещение неправильной формы

Если надо высчитать площадь комнаты неправильной формы, ее разбивают на простые фигуры — квадраты, прямоугольники, треугольники. Потом измеряют все нужные размеры, производят расчеты по известным формулам (есть в таблице чуть ниже).

Один из примеров — на фото. Так как и то, и другое — прямоугольник, площадь считается по той же формуле: длину умножаем на ширину. Найденную цифру надо отнять или прибавить к размеру помещения — в зависимости от конфигурации.

Площадь комнаты сложной формы

Считаем квадратуру без выступа: 3,6 м * 8,5 м = 30,6 кв. м.
Считаем габариты выступающей части: 3,25 м * 0,8 м = 2,6 кв. м.
Складываем две величины: 30,6 кв. м. + 2,6 кв. м. = 33,2 кв. м.

Еще бывают помещения со скошенными стенами. В этом случае разбиваем ее так, чтобы получились прямоугольники и треугольник (как на рисунке ниже). Как видите, для данного случая требуется иметь пять размеров. Разбить можно было по-другому, поставив вертикальную, а не горизонтальную черту. Это не важно. Просто требуется набор простых фигур, а способ их выделения произвольный.

В этом случае порядок вычислений такой:

Считаем большую прямоугольную часть: 6,4 м * 1,4 м = 8,96 кв. м. Если округлить, получим 9, 0 кв.м.
Высчитываем малый прямоугольник: 2,7 м * 1,9 м = 5,13 кв. м. Округляем, получаем 5,1 кв. м.
Считаем площадь треугольника. Так как он с прямым углом, то равен половине площади прямоугольника с такими же размерами. (1,3 м * 1,9 м) / 2 = 1,235 кв. м. После округления получаем 1,2 кв. м.
Теперь все складываем чтобы найти общую площадь комнаты: 9,0 + 5,1 + 1,2 = 15,3 кв. м.

Планировка помещений может быть очень разнообразной, но общий принцип вы поняли: делим на простые фигуры, измеряем все требуемые размеры, высчитываем квадратуру каждого фрагмента, потом все складываем.

Еще одно важное замечание: площадь комнаты, пола и потолка — это все одинаковые величины. Отличия могут быть если есть какие-то полу-колоны, не доходящие до потолка. Тогда из общей квадратуры вычитается квадратура этих элементов. В результате получаем площадь пола.

Как рассчитать квадратуру стен

Определение площади стен часто требуется при закупке отделочных материалов — обоев, штукатурки и т.п. Для этого расчета нужны дополнительные измерения. К имеющимся уже ширине и длине комнаты нужны будут:

высота потолков;
высота и ширина дверных проемов;
высота и ширина оконных проемов.

Все измерения — в метрах, так как квадратуру стен тоже принято измерять в квадратных метрах.

Так как стены прямоугольные, то и площадь считается как для прямоугольника: длину умножаем на ширину. Таким же образом вычисляем размеры окон и дверных проемов, их габариты вычитаем. Для примера рассчитаем площадь стен, изображенных на схеме выше.

Стена с дверью:
- 2,5 м * 5,6 м = 14 кв. м. — общая площадь длинной стены
- сколько занимает дверной проем: 2,1 м *0,9 м = 1,89 кв.м.
- стена без учета дверного проема — 14 кв.м — 1,89 кв. м = 12,11 кв. м
Стена с окном:
1. квадратура маленьких стен: 2,5 м * 3,2 м = 8 кв.м.
2. сколько занимает окно: 1,3 м * 1,42 м = 1,846 кв. м, округляем, получаем 1,75 кв.м.
3. стена без оконного проема: 8 кв. м — 1,75 кв.м = 6,25 кв.м.

Найти общую площадь стен не составит труда. Складываем все четыре цифры: 14 кв.м + 12,11 кв.м. + 8 кв.м + 6,25 кв.м. = 40,36 кв. м.

Объем комнаты

Для некоторых расчетов требуется объем комнаты. В этом случае перемножаются три величины: ширина, длинна и высота помещения. Измеряется данная величина в кубических метрах (кубометрах), называется еще кубатурой. Для примера используем данные из предыдущего пункта:

длинна — 5,6 м;
ширина — 3,2 м;
высота — 2,5 м.

Если все перемножить, получаем: 5,6 м * 3,2 м * 2,5 м = 44,8 м 3 . Итак, объем помещения 44,8 куба.

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
S = 1 2
2

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
a · b · sin α

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,

Площадь прямоугольника, как не будет дерзко звучать, но это важное понятие. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ним. Узнать размер полей, огородов, рассчитать количество краски, необходимой для побелки потолка, сколько понадобится обоев для оклейки ко

мнаты и другое.

Геометрическая фигура

Для начала поговорим о прямоугольнике. Это фигура на плоскости, которая имеет четыре прямых угла, а ее противоположные стороны равны. Стороны его привыкли называть длиной и шириной. Измеряют их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т. д. Теперь ответим на вопрос: «Как найти площадь прямоугольника?» Для этого необходимо длину умножить на ширину.

Площадь=длина*ширина

Но еще одна оговорка: длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, то есть метр и метр, а не метр и сантиметр. Записывается площадь латинской буквой S. Для удобства обозначим длину латинской буквой b, а ширину латинской буквой a, как показано на рисунке. Отсюда мы делаем вывод, что единицей измерения площади является мм 2 , см 2 , м 2 и т. д.

Рассмотрим на конкретном примере, как найти площадь прямоугольника. Длина b=10 ед. Ширина a=6 ед. Решение: S=a*b, S=10 ед.*6 ед., S=60 ед 2 . Задача. Как узнать площадь прямоугольника, если длина в 2 раза больше ширины и составляет 18 м? Решение: если b=18 м, тогда а=b/2, a=9 м. Как найти площадь прямоугольника, если известны обе стороны? Правильно, подставить в формулу. S=a*b, S=18*9, S=162 м 2 . Ответ: 162 м 2 . Задача. Сколько необходимо купить рулонов обоев для комнаты, если ее размеры составляют: длина 5,5 м ширина 3,5, а высота 3 м? Размеры рулона обоев: длина 10 м, ширина 50 см. Решение: сделаем рисунок комнаты.

Площади противоположных сторон равны. Вычислим площадь стены с размерами 5,5 м и 3 м. S стены 1 =5,5*3,

S стены 1 =16,5 м 2 . Следовательно, противоположная стена имеет площадь равную 16,5 м 2 . Найдем площади следующих двух стен. Стороны их, соответственно, равны 3,5 м и 3 м. S стены 2 =3,5*3, S стены 2 =10,5 м 2 . Значит, и противоположная сторона равна 10,5 м 2 . Сложим все результаты. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м 2 . Как вычислить площадь прямоугольника, если стороны выражены в разных единицах измерения. Ранее мы вычисляли площади в м 2 , то и в этом случае будем использовать метры. Тогда ширина рулона обоев будет равна 0,5 м. S рулона =10*0,5, S рулона =5 м 2 . Теперь узнаем, сколько рулонов необходимо для оклейки комнаты. 54:5=10,8 (рулонов). Так как они измеряются целыми числами, то нужно купить 11 рулонов обоев. Ответ: 11 рулонов обоев. Задача. Как вычислить площадь прямоугольника, если известно, что ширина на 3 см короче длины, а сумма сторон прямоугольника составляет 14 см? Решение: пусть длина х см, тогда ширина (х-3) см. х+(х-3)+х+(х-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см - длина прямоугольника, 5-3=2 см - ширина прямоугольника, S=5*2, S=10 см 2 Ответ: 10 см 2 .

Резюме

Рассмотрев примеры, надеюсь, стало понятно, как найти площадь прямоугольника. Напомню, что единицы измерения длины и ширины должны совпадать, иначе получится неправильный результат, чтобы не допустить ошибок, читайте задание внимательно. Иногда сторона может быть выражена через другую сторону, не стоит бояться. Обратитесь к нашим решенным задачам, вполне возможно, они могут помочь. Но хоть раз в жизни мы сталкиваемся с нахождением площади прямоугольника.

Определение.

Прямоугольник - это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.

Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника , а короткую - шириной прямоугольника .

Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:

7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.

9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

		AO = BO = CO = DO =	d
			2

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности

11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности

12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника - квадрат).

Стороны прямоугольника

Определение.

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d 2 - b 2

b = √d 2 - a 2

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

b = d cos	β
	2

Диагональ прямоугольника

Определение.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):

d = √a 2 + b 2

2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:

d = D о

6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:

8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника

d = √2S: sin β

Периметр прямоугольника

Определение.

Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

Формулы определения длины периметру прямоугольника

1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b )

2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:

P =	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:

P = 2(a + √d 2 - a 2 ) = 2(b + √d 2 - b 2 )

4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √4R 2 - a 2 ) = 2(b + √4R 2 - b 2 )

5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √D o 2 - a 2 ) = 2(b + √D o 2 - b 2 )

Площадь прямоугольника

Определение.

Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.

Формулы определения площади прямоугольника

1. Формула площади прямоугольника через две стороны:

S = a · b

2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:

5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

S = a √4R 2 - a 2 = b √4R 2 - b 2

6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

S = a √D o 2 - a 2 = b √D o 2 - b 2

Окружность описанная вокруг прямоугольника

Определение.

Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны: