График уравнения с одной переменной. Решение линейных уравнений с одной переменной
Возьмем два выражения с переменной: 4х и 5х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание.
Например, при х = -2 предложение 4х = 5х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4-(-2) = 5-(-2) + 2, а при х = 1 - в ложное 4-1 = 5-1+2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.
В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:
Определение. Пусть f(х) и q(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) = q(х) называется уравнением с одной переменной.
Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней .
Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.
Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х-1)(х+2)=0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,- 1}.
Уравнение (3х + 1) × 2 = 6х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х: если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.
Уравнение (3х + 1)-2 = 6х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имеет корней и что множество его корней пусто.
Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного данного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.
Определение. Два уравнения f 1 (х) = q 1 (х) и f 2 (х) = q 2 (х) называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Например, уравнения х 2 - 9 = 0 и (2х + 6)(х - 3) = 0 равносильны так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и уравнения (3х + 1)-2 = 6х + 1 и х 2 + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают.
Определение . Замена уравнения равносильным ему уравнением называется равносильным преобразованием.
Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать равносильные уравнения.
Теорема 1 . Пусть уравнение f(х) = q(х) задано на множестве и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнение f(х) = q(х) (1) и f(х) + h(х) = q(х) + h(х) (2) равносильны.
Доказательство. Обозначим через Т 1 , - множество решений уравнения (1), а через Т 2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т 1 = Т 2 . Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т 1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т 2 , является корнем уравнения (1).
Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда а Î Т 1 , и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(а) = q(а), а выражение h(х) обращает в числовое выражение h(а) имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинного равенства f(а) = q(а) числовое выражение h(а). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(а) + h(а) = q(а) + h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т 1 Ì Т 2.
Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а Î Т 2 , и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(а) + h(а) = q(а) + h(а). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение - h(а). Получим истинное числовое равенство f(а) = q(а), что число а - корень уравнения (1).
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е. Т 2 Ì Т 1 .
Так как Т 1 Ì Т 2 и Т 2 Ì Т 1 , то по определению равных множеств Т 1 = Т 2 , а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.
Данную теорему 1 можно сформулировать иначе : если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:
1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Пусть уравнение f(х) = q(х), задано на множестве Х и h(х) - выражение, которое определено на том же множестве и не обращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f(х) = q(х) и f(х) × h(х) = q(х) × h(х) равносильны.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
Теорему 2 можно сформулировать иначе : если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.
Решим уравнение , х Î R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
§ 23. Линейное уравнение с одной переменной. Решение линейных уравнений с одной переменной и уравнений, сводящихся к ним
Мы зна емо, как решать уравнения 2х = -8; х - 5; 0,01 х -17.
Каждое из этих уравнений имеет вид ах = b , где х - переменная, а и b - некоторые числа.
Числа а и b называют коэффициентами уравнения.
Если а ≠ 0, то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной. Поделив обе части уравнения на а, получим х = , то есть являетсяединственным корнем этого уравнения является число
Если а - 0 и b - 0, то линейное уравнение имеет вид 0х - 0. Корнем такого уравнения является любое число, так как при любом значении х значение левой и правой частей уравнения равны и равны нулю. Поэтому уравнение 0х = 0 множество корней.
Если а - 0, а b ≠ 0, то линейное уравнение примет вид 0х - b . При этом не существует никакого значения переменной х, которое бы превращало левую и правую части уравнения на одно и то же число. Ведь значение левой части уравнения при любом значении х равен нулю, а значение правой части - числу b , отличном от нуля. Поэтому уравнение 0х = b при b ≠ 0 не имеет корней.
Систематизируем данные о решения линейного уравнения ах = b в виде схемы:
Пример 1. Решить уравнение:
Р а з в ’ я з а н н я.
1) 0,2 х = 7; х = 7: 0,2; х = 35.
Ответ: - 4.
3)0х = 7; уравнение не имеет корней.
Ответ: корней не имеет.
Процесс решения многих уравнений является сводом этих уравнений к лилейным путем равносильных преобразований по свойствам уравнений.
Пример 2. Решить уравнение:
1) 3(х + 1) - 2х = 6 - 4х;
Р а з в ’ я з а н н я.
1. Избавимся от знаменателей (если они есть):
1)3(х + 3) - 2х = 6 - 4х.
Умножим обе частили уравнения на 6 (6 - наименьший общий знаменатель дробей). Имеем:
3(х + 1) + 2(5 - х) = х + 13.
2. Раскроем скобки (если они есть):
3х + 9 - 2х = 6 - 4х;
3х + 3 + 10 - 2х = х + 13.
3. Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а остальные - в правую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные:
3х - 2х + 4х = 6 - 9;
3х - 2х - х = 13 - 3 - 10.
4. Сведем подобные слагаемые:
5. Решим полученное линейное уравнение:
Ответ: -0,6.
х - любое число.
Ответ: любое число.
Пример 3. Решить уравнение 5(х + г) = 3х - 7р в отношении х.
Р а з в ’ я з а н н я. Раскроем скобки в левой части уравнения: 5х + 5р - 3х - 7р. Перенесем слагаемое 3х в левую часть, а 5р - в правую. Имеем: 5х - 3х = -7р - 5р; 2х = -12р. Тогда х = (-12р) : 2; х = (-12: 2)г; х = -6р.
Ответ: -6р.
Какое уравнение называют линейным уравнением с одной переменной? Приведите примеры линейных уравнений. В каком случае уравнение ах - b имеет единственный корень? В любом случае корнем уравнения ах - b -любое число? В каком случае уравнение ах = b не имеет корней?
848. (Устно) Какое из уравнений является линейным:
5) х + 7 = х 2 ;
849. (Устно) Сколько корней имеет уравнение:
850. Выясните, какое из данных уравнений имеет только одно решение, не имеет решений, имеет бесконечное множество решений:
851. (Устно) Решите уравнение:
2) 0,5 х = -2,5;
3) -2,5 х = 7,5;
852. Решите уравнение:
6) -0,01 х = 0,17;
8)-1,2 х = -4,2;
853. Найдите корень уравнения:
6) 0,1 х = 0,18.
854. Определите, что должно быть записано справа в уравнении вместо пробелов, если известно его корень:
855. Найдите корень уравнения:
1) 7х + 14 = 0;
2) 0, 3х - 21 = 0,5 х - 23;
3) 1х + 3 = 6х - 13;
4) 5х + (3х - 7) = 9;
5) 47 = 10 - (9х + 2);
6) (3х + 2) - (8х + 6) = 14.
856. Решите уравнение:
2) 1,4 х - 12 = 0,9 х + 4;
3) 3х + 14 = 5х - 16;
4) 12 - (5х + 10) = -3;
5) 6 - (8х + 11) = -1;
6) (3х - 4) - (6 - 4х) = 4.
857. Какое из уравнений равносильно уравнению 5х = 10:
3) х + 2 = х + 1;
5) х = 8 - 3х;
6)1х - 7 = 4х?
858. Являются ли уравнения равносильными:
1) 4х - х = 17 3х = 17;
2) 5х - 9 = 3х и 6х = 21;
3) 2х = -12 и х + 6 = 0;
4) 12х = 0 15х = 15?
859.
1) 3х + 7 равен -2;
2) 4(х + 1) равно значению выражения 5х - 9?
860. При каком значении у:
1) значение выражения 5у - 13 равна -3;
2) значения выражений 3(в - 2) и 13у - 8 равны между собой?
861. Решите уравнение:
2) 2х - у = 1;
862. Найдите корень уравнения:
863. Составьте линейное уравнение, корнем которого является:
1) число -2;
2) число -0,2.
864. Составьте линейное уравнение:
1) не имеет корней;
2) корнем которого является любое число.
865. Составьте линейное уравнение, корнем которого было бы:
1) число -8;
2) любое число.
866. Найдите корень уравнения:
1)(4х - 2) + (5х - 4) - 9 - (5 - 11х);
2) (7 - 8х) - (9 - 12х) - (5х + 4) = -16;
3) 3(4х - 5) - 10(2х - 1) = 33;
4) 9(3(х + 1) 2х) = 7(х + 1).
867. Решите уравнение:
1) (9х - 4) + (15х - 5) = 18 - (25 - 22х);
2) (10х + 6) - (9 - 9х) + (8 - 11х) = -19;
3) 7(х - 1) - 3(2х + 1) = -х - 15;
4) 5(4(х - 1) - 3х) = 9х.
868.
1) 2х + а = х + а;
2) b + х = с - х;
3) 6х + 2m = х - 8m ;
4) 9а + х = 3b - 2х.
Р а з в ’ я з а н н я.
4) 9a - х = 3b - 2х; х + 2х = 3b - 9а; 3х = 3(b - 3a). Поделим обе части уравнения на 3. Получим: х = b - 3а.
Ответ: b - 3а.
869. Решите уравнение относительно х:
1) 7х + m = 2х + m ;
2) а + х = 2m - х;
3) 3х + b = 9b - х;
4) 5р + 2х = 10 - 3х.
870. Являются ли равносильными уравнения:
1) 2х - 4 = 2 и 5(х - 3) + 1 = 3х - 8;
2) 5х + 3 = 8 и 7(х - 2) + 20 = 4х + 3;
3) 5х = 0 и 0 х = 5;
4) 7х + 1 = 7х 2 и 5(х + 1) = 5х + 5;
5) 0: х = 7 и 0 ∙ х = 7;
6) 3(х - 2) = 3х - 6 и 2(х + 7) - 2(х + 1) + 12?
871. При каком значении у значение выражения:
1) 5у + 7 в три раза больше значения выражения у + 5;
2) 2у - 4 на 7,4 больше значения выражения 3 - 7у?
872. При каком значении х значение выражения:
1) 7х + 8 вдвое больше значения выражения х + 7;
2) 5х - 8 па 17,2 меньше значения выражения х + 2 ?
873. Составьте уравнение, которое было бы равносильно уравнению 7(2х - 8) = 5(7х - 8) - 15х.
874. При каком значении а уравнение:
1) 2ах = 16 имеет корень, равный 4;
2) 3х имеет корень, равный ;
3) 5(а + 1)х = 40 имеет корень, равный -1 ?
875. При каком значении b корнем уравнения:
1) 3b х = -24 является число -4;
2) (2а - 5)х = 45 с число 3?
876. Решите уравнение:
1) 4х + 7 = 3(х - 2) + х:
2) 2х + 5 - 2(х - 4) + 13;
3) 2х(1 - 3х) + 5х(3 - х) = 17х - 8х 2 ;
4) (7х - 3 + 2х 2 - 4х - 5) - (6х 3 - х 2 + 2х) = 3х 2 - (6х - х 3).
877. Найдите корень уравнения:
1) 3(х - 2) + 4х = 7(х -1) + 1;
2) 2(х + 1) + х = 6(х + 3);
3) 3х(2 + х) - 4 (1 - х 2) = 7х 2 + 6х;
4) (х 2 + 4х - 8) - (7х - 2х 2 - 5) = 3х 2 - (3х + 3).
878. Решите уравнение.
При изучении русского языка в школе многие задавались вопросом: почему слово равнина пишется через а , ведь проверочное слово ровный пишется через о ? На самом деле ответ прост. Ведь равнина так называется потому, что все ее точки находятся на равном расстоянии (от уровня моря) и проверочное слово для неё — равно .
Определение: Уравнением с переменной x называется равенство вида A(x)=B(x), где A(x) и B(x) — выражения от x. Множество T значений x при подстановке которых в уравнение получается истинное числовое равенство, называют множеством истинности данного уравнения или решением данного уравнения, а каждое такое значение переменной — корнем уравнения .
Таким образом становится понятно, что основа любого уравнения это равенств о двух его частей. И когда при решении уравнений производятся над его частями это равенство всегда должно соблюдаться.
Методы решения уравнений с одной переменной
Существует огромное количество самых разнообразных видов уравнений для решения которых используются разные способы. Но для того чтобы легко решать уравнения вам необходимо знать три основных метода:
Тождественное преобразование уравнений
Разложение выражения на множители
Введение новой переменной
Тождественные преобразования уравнений
Наиболее простым и в то же время одним из самых распространенных способов решения уравнений является метод тождественных преобразований. В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными. Рассмотрим основные способы тождественных преобразований алгебраических выражений.
Примеры и формулы тождественных преобразований:
Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.
Пример: 9x 2 + 12x + 10 = 15x + 10 → отнимем десять из обоих частей → 9x 2 + 12x = 15x
Второе тождественное преобразование : перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками.
Пример: 9x 2 + 12x = 15x → перенесем 15х влево → 9x 2 + 12x — 15x =0. После упрощения получаем: 9x 2 - 3x =0
Третье тождественное преобразование: обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя.
Пример: 9x 2 - 3x =0 → разделим обе части уравнения на три → 3x 2 - x =0
Четвертое тождественное преобразование: можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени . Необходимо помнить, что:
а) возведение в чётную
может привести к приобретению
посторонних корней
;
б) неправильное
извлечение корня чётной степени
может привести к потере корней
.
Пример: 49x 2 = 1225 → извлечем корень квадратный из обеих частей → | 7x | = 35
Разложение выражения на множители
Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических , на множители.
Вынесение общего множителя за скобку
В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.
Пример: Разложить на множители многочлен х 5 – 2х 3 +х 2 .
Решение: Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель х 2 . Вынесем его за скобку и получим ответ:
х 5 – 2х 3 +х 2 = х 2 (х 3 – 2x + 1).
Применение формул сокращённого умножения
Сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:
1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2
2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a 2 -b 2
4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3
6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
(a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3
7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 -b 3
Пример: (3х+5) 2 =9х 2 +30х+25=0
Решение: используя формулу (1) 9х 2 +30х+25= (3х+5) 2
Применение выделения полного квадрата
Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители, применяемых при сдаче и
Лекция 26. Уравнения с одной переменной
1. Понятие уравнения с одной переменной
2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
3. Решение уравнений с одной переменной
Уравнения с одной переменной
Возьмем два выражения с переменной: 4 х и 5 х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5 х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание. Например, при х = -2 предложение 4х = 5 х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, а при х = 1 - в ложное 4·1 = 5·1 + 2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.
В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:
Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) =g(х) называется уравнением с одной переменной.
Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней.
Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.
Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х - 1)(х + 2) = 0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,-1}.
Уравнение (3х + 1)-2 = 6 х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х : если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.
Уравнение (3х + 1)·2 = 6 х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6 х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имееткорней и что множество его корней пусто.
Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.
