Законы арифметических действий. Законы арифметических действий над действительными числами

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

22.10.15 Классная работа

Найдите длину отрезка АВ а b А В b а В А АВ= a + b АВ= b + a

11 + 16 = 27 (фруктов) 16 + 11 = 27 (фруктов) Изменится ли общее количество фруктов от перестановки слагаемых? Маша собрала 11 яблок и 16 груш. Сколько фруктов оказалось в корзинке у Маши?

Составьте буквенное выражение для записи словесного высказывания: « от перестановки слагаемых сумма не изменится » а + b = b + a Переместительный закон сложения

(5 + 7) + 3 = 15 (игрушек) Какой способ подсчета проще? Маша наряжала елку. Она повесила 5 елочных шаров, 7 шишек и 3 звёздочки. Сколько всего игрушек повесила маша? (7 + 3) + 5 =15 (игрушек)

Составьте буквенное выражение для записи словесного высказывания: « Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых » (a + b)+с = a +(b+ с) Сочетательный закон сложения

Подсчитаем: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Учимся считать быстро!

Справедливы для умножения те же законы, что и для сложения? a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с)

b=15 а =12 c=2 V = (a · b) · c = a · (b · c) V = (12 · 15) · 2= =12 · (15 · 2)=360 S = a · b= b · a S = 12 · 15 = =15 · 12 =180

a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с) Переместительный закон умножения Сочетательный закон умножения

Подсчитаем: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756= 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 Учимся считать быстро!

ТЕМА УРОКА: С чем сегодня на уроке работаем? Сформулируйте тему урока.

212 (1 столбик), 214(а,б,в), 231, 230 В классе Домашнее задание 212 (2 столбик), 214(г,д,е), 253

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по математике в 5 классе "Законы арифметических действий" включает в себя текстовый файл и презентацию к уроку.На этом уроке повторяется переместительный и сочетательный законы, вводи...

Законы арифметических действий

Данная презентация полготовлена к уроку по математике в 5 классе на тему "Законы арифметических действий" (учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович)....

Урок изучения нового материала с использованием ЭОР....

Законы арифметических действий

Презентация создана для визуального сопровождения урока в 5 классе по теме "Арифметические действия с целыми числами". В ней представлена подборка задач как для общего, так и для самостоятельного реше...

разработка урока Математика 5 класс Законы арифметических действий

разработка урока Математика 5 класс Законы арифметических действий№ п/пСтруктура аннотацииСодержание аннотации1231ФИО Малясова Людмила Геннадьевна2Должность, преподаваемый предмет Учитель ма...

ТЕМА: Использование законов и свойств арифметических действий

для рациональных вычислений

Цель: Рассмотреть возможности применения законов и свойств арифметических операций для рациональных вычислений.

Планируемые результаты:

Знают : законы и свойства арифметических действий (словесная формулировка и символическая запись)

Умеют : грамотно, правильно выражать свои мысли, пользоваться математической символикой, применять законы и свойства арифметических действий для упрощения вычислений.

Развивающие задачи:

Развивать логическое мышление, навыки умственного труда, волевые привычки, математическую речь, память, внимание, интерес к математике, практичность;

Воспитывающие задачи:

Воспитывать уважительное отношение друг к другу, чувство товарищества, доверие.

Наименование общей компетенции

ОК 1.

Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии , проявлять к ней устойчивый интерес .

ОК 2.

Организовывать собственную деятельность , определять методы решения профессиональных задач , оценивать их эффективность и качество.

ОК 4.

Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 6.

Работать в коллективе и команде , взаимодействовать с руководством , коллегами и социальными партнерами.

Постановка целей и задач урока

Добрый день! Сегодняшний урок я хочу начать с нескольких высказываний….

Счет и вычисления - основа порядка в голове. (Иоганн Песталоцци – швейцарский педагог)

В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре – французский математик)

Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. (Л. Эйлер - российский математик)

Прочитайте еще раз эти высказывания про себя и скажите – кто догадался, о чем сегодня пойдет речь? Что мы сегодня повторим на уроке? Чем будем заниматься?

Вы правы, тема нашего урока… Использование законов и свойств арифметических действий для рациональных вычислений

Начнем мы урок с математической разминки

Актуализация знаний

1. Закончите предложение. Что это за правило?

От перестановки слагаемых…

Чтобы из числа вычесть сумму можно…

Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно…

Чтобы умножить сумму на число, можно…

Чтобы число разделить на произведение, можно…

2. Это была словесная формулировка правил, а теперь давайте вспомним, как эти правила можно записать, используя символы математического языка. У Вас на партах белые листы, на которых записаны и правила тождественных преобразований в символической, буквенной форме. Вам нужно дописать эти равенства, определить, что это за правила и вспомнить формулировку этих правил. (Работаем в парах)

3. На слайде записаны примеры тождественных преобразований числовых выражений, на основе каких правил их можно выполнять?

Менять местами множители

Восстанавливать и опускать скобки

Выносить общий множитель за скобки

Закрепление ранее изученного

Как вы думаете – для чего нужны эти правила? Их много и все они изучаются в начальных классах. (значение слова рациональный – разумный, логичный, целесообразный)

1. Найдите рациональным способом значение выражений (письменно):

а) 156 + 79 + 21 + 44(у)

б) 2 · 5 · 126 ·4 · 25(у)

в) (120+36+186):6 (У)

г)56 387 - (6 307+82) (У)

г) 62 · 16 + 38 · 16(У)

г) 240 · 710 + 7100 · 76

д) 45 · 40 – 40 ·25

е) 4 · 63 + 4 · 79 + 142 · 6

ж) 107*93 -109*91

2. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений (устно):

а) 258 · (764 + 548) и 258 · 764 + 258 · 545

в) 496 · (862 – 715) и 496 · 860+ 496 · 715

г) 6720: (7*4) и 6720:7:4

д) 732*(12*2) и 732*20+732*6

3. В начальных классах устные вычислительные приемы основываются на рассмотренных законах и правилах. У вас на столах розовые листы, на которых записаны примеры. Вам нужно предложить свой вариант вычислений и пояснить, каким правилом могут пользоваться ученики начальной школы.(Работаем в парах)

Пример: 60-7=(50+10)-7=50+(10-7)=53 Правило – вычитание числа из суммы.

Проверим, права ли Оля? ... (видео)

36-20

350-70

26+7

124*3

6 · 28

840:7

25*12

560:28

4. Задания на логику:

Найдите ошибку в рассуждениях:

35+10-45=42+12-54

5*(7+2-9)= 6*(7+2-9)

5=6

Какой цифрой кончается?

А) произведение всех натуральных чисел от 7 до 81 включительно

Б)сумма 26*27*28 + 51*52*53

В) разность 43*45*47- 39*41*42

Г) сумма всех трехзначных чисел?

Д/з: придумать самим числовые выражения на применение правил .

Итог урока: Продолжите фразы

На уроке я вспомнил….

повторил….

понял…..

Мне было трудно ….

Мне понравилось….

§ 13. Законы арифметических действий - Учебник по Математикe 5 класс (Зубарева, Мордкович)

Краткое описание:

Чтобы успешно справляться с решением разных математических выражений и уравнений, а особенно формулами, выраженными буквенно, когда существует несколько искомых, нам необходимо знать основные законы арифметических действий. Они созданы на основании повторяющихся ситуаций, связанных с математических действий и являются неизменными правилами, которые помогают нам решать математические задачи и справляться с разными примерами в математике.
С некоторымы законами арифметических действий вы уже знакомились ранее и использовали в решении выражений. Это, например, закон перемещения слагаемых – при перестановке слагаемых, их сумма остается неизменной. Такие законы могут быть изображены буквенно или озвучены словесно в предложении. Как существуют законы сложения, так есть и закон умножения. Действия, которые с ними производят, различные, но правила совершения его одинаковы. Но правила меняются, когда речь идет о смешении действий сложения и умножения в одном выражении. Действие умножения сильнее и первое по порядку исполнения, как и действие, записанное в скобках. В выражении 5 10 + 6 (4+7), сначала стоит умножить между собой первые два числа, посчитать сумму в скобках и умножить ее на число перед скобками, и только потом считать сумму получившихся чисел. Также правильным будет в раскрытии скобок каждое число умножить на число перед скобками и потом посчитать их сумму. Вы можете использовать любой из вариантов при решении различных выражений. Предлагаем перейти к материалу учебника и подробнее рассмотреть этот материал с примерами, закрепив свои знания решением разных выражений и уравнений.

Цель: проверить сформированность умений выполнять вычисления по формулам; познакомить детей с переместительным, сочетательным и распределительным законами арифметических действий.

• познакомить с буквенной записью законов сложения и умножения; научить применять законы арифметических действий для упрощения вычислений и буквенных выражений;
• развивать логическое мышление, навыки умственного труда, волевые привычки, математическую речь, память, внимание, интерес к математике, практичность;
• воспитывать уважительное отношение друг к другу, чувство товарищества, доверие.

Тип урока: комбинированный.

• проверка ранее усвоенных знаний;
• подготовка учащихся к усвоению нового материала
• изложение нового материала;
• восприятие и осознание учащимися нового материала;
• первичное закрепление изученного материала;
• подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация.

План:

1. Организационный момент.
2. Проверка ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Первичная проверка усвоения знаний (работа с учебником).
5. Контроль и самопроверка знаний (самостоятельная работа).
6. Подведение итогов урока.
7. Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель: Добрый день, дети! Наш урок мы начинаем со стихотворения – напутствия. Обратите внимание на экран. (1 слайд) . Приложение 2 .

Математика, друзья,
Абсолютно всем нужна.
На уроках работай старательно,
И успех тебя ждёт обязательно!

2. Повторение материала

Повторим пройденный материал. Я приглашаю к экрану ученика. Задача: соединить с помощью указки записанную формулу с её названием и ответить на вопрос, что с помощью данной формулы можно ещё найти. (2 слайд).

Откройте тетради, подпишите число, классная работа. Обратите внимание на экран. (3 слайд).

Работаем устно по следующему слайду. (5 слайд).

12 + 5 + 8		25 10		250 – 50
200 – 170		30 + 15		45: 3
15 + 30		45 – 17		28 25 4

Задание: найти значение выражений. (Один ученик работает у экрана.)

– Что интересного заметили, решая примеры? На какие примеры стоит обратить особое внимание? (Ответы детей.)

Проблемная ситуация

– Какие свойства сложения и умножения вы знаете из начальной школы? Умеете ли вы их записывать с помощью буквенных выражений? (Ответы детей).

3. Изучение нового материала

– И так, тема сегодняшнего урока “Законы арифметических действий” (6 слайд).
– Запишите в тетради тему урока.
– Что нового мы должны узнать на уроке? (Вместе с детьми формулируются цели урока).
– Смотрим на экран. (7 слайд) .

Вы видите законы сложения, записанные в буквенном виде и примеры. (Разбор примеров).

– Следующий слайд (8 слайд).

Разбираем законы умножения.

– А теперь познакомимся с очень важным распределительным законом (9 слайд).

– Подведём итог. (10 слайд).

– Для чего необходимо знать законы арифметических действий? Пригодятся ли они в дальнейшей учёбе, при изучении каких предметов? (Ответы детей.)

– Запишите законы в тетрадь.

4. Закрепление материала

– Откройте учебник и найдите № 212 (а, б, д) устно.

№ 212 (в, г, ж, з) письменно на доске и в тетрадях. (Проверка).

– Устно работаем над № 214.

– Выполняем задачу № 215. Какой закон используется при решении данного номера? (Ответы детей).

5. Самостоятельная работа

– Запишите на карточке ответ и сравните ваши результаты с соседом по парте. А теперь внимание на экран. (11 слайд). (Проверка самостоятельной работы).

6. Итог урока

– Внимание на экран. (12 слайд). Закончите предложение.

Оценки за урок.

7. Домашнее задание

§13, № 227, 229.

8. Рефлексия

В ходе исторического развития, конечно, долго складывали и умножали, не отдавая себе отчета в тех законах, которым подчиняются эти операции. Лишь в 20-х и 30-х годах предыдущего столетия главным образом французские и английские математики выяснили основные свойства этих операций. Кто хочет ознакомиться с историей этого вопроса подробнее, тому я могу рекомендовать здесь, как буду это делать неоднократно ниже, большую «Энциклопедию математических наук».

Возвращаясь к нашей теме, я имею в виду теперь действительно перечислить те пять основных законов, к которым приводится сложение:

1) всегда представляет собою число, иначе говоря, действие сложения всегда без всяких исключений выполнимо (в противоположность вычитанию, которое в области положительных чисел выполнимо не всегда);

2) сумма всегда определена однозначно;

3) имеет место сочетательный, или ассоциативный закон: , так что скобки можно и вовсе опустить;

4) имеет место переместительный, или коммутативный закон:

5) имеет место закон монотонности: если , то .

Эти свойства понятны без дальнейших пояснений, если мы имеем перед глазами наглядное представление о числе как о количестве. Но они должны быть выражены строго формально, чтобы на них можно было опираться при дальнейшем строго логическом развитии теории.

Что касается умножения, то здесь действует, прежде всего, пять законов, аналогичных только что перечисленным:

1) всегда есть число;

2) произведение однозначно,

3) закон сочетательности:

4) закон переместительности:

5) закон монотонности: если , то

Наконец, связь сложения с умножением устанавливается шестым законом:

6) закон распределительности, или дистрибутивности:

Легко уяснить, что все вычисления опираются исключительно на эти 11 законов. Я ограничусь простым примером, скажем, умножением числа 7 на 12;

согласно закону распределительности

В этом коротком рассуждении вы, конечно, узнаете отдельные шаги, которые мы производим при вычислениях в десятичной системе. Предоставляю вам самим разобрать примеры посложнее. Мы здесь выскажем только сводный результат: наши цифровые вычисления заключаются в повторном применении перечисленных выше одиннадцати основных положений, а также в применении заученных наизусть результатов действий над однозначными числами (таблица сложения и таблица умножения).

Однако, где же находят себе применение законы монотонности? В обыкновенных, формальных вычислениях мы на Них действительно не опираемся, но они оказываются необходимыми в задачах несколько иного рода. Напомню вам здесь о способе, который в десятичном счете называют оценкой величины произведения и частного. Это прием величайшей практической важности, который, к сожалению, в школе и среди студентов известен далеко еще не достаточно, хотя при случае о нем говорят уже во втором классе; я здесь ограничусь только примером. Допустим, нам нужно умножить 567 на 134, причем в этих числах цифры единиц установлены, - скажем, посредством физических измерений - лишь весьма неточно. В таком случае было бы совершенно бесполезно вычислять произведение с полною точностью, так как такое вычисление все равно не гарантирует нам точного значения интересующего нас числа. Но что нам действительно важно - это знать порядок величины произведения, т. е. определить, в пределах какого числа десятков или сотен число заключается. Но эту, оценку закон монотонности действительно дает вам непосредственно, ибо из него вытекает, что искомое число содержится между 560-130 и 570-140. Дальнейшее развитие этих соображений я опять-таки предоставляю вам самим.

Во всяком случае, вы видите, что при «оценочных вычислениях» приходится постоянно пользоваться законами монотонности.

Что касается действительного применения всех этих вещей в школьном преподавании, то о систематическом изложении всех этих основных законов сложения и умножения не может быть и речи. Учитель может остановиться только на законах сочетательном, переместительном и распределительном, и то только при переходе к буквенным вычислениям, эвристически выводя их из простых и ясных численных примеров.