Главная › Возврат › Схема исследования функции с использованием производной. Применение производной к исследованию функций

Схема исследования функции с использованием производной. Применение производной к исследованию функций

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)

Определение:

x 0 называется критической точкой функции f(x), если

1) x 0 – внутренняя точка области определения f(x) ;

2) f"(x 0)=0 или f"(x 0) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x 0 – точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x 0 производная функции меняет знак, то x 0 – точка экстремума функции f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

Найти область определения функции.
Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.
Найти производную функции и ее критические точки.
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке .

Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;
Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;
Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Задачи и тесты по теме "Применение производной к исследованию функций"

Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы - Производная 10 класс
Уроков: 3 Заданий: 10 Тестов: 1
Производная и первообразная
Заданий: 3
Определение производной - Производная 10 класс
Уроков: 4 Заданий: 9 Тестов: 1
Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин - Производная 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 9 Тестов: 1
Наибольшее и наименьшее значение функций - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике
Заданий: 5

Проработав данную тему, Вы должны научиться применять производную для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах. Обратите внимание, что решение всегда начинается с нахождения области определения исследуемой функции.

Примеры.

1. Найти промежутки убывания и возрастания функции

Решение:

(для определения знаков производной использовали метод интервалов)

Ответ: при функция убывает, при функция возрастает.

2. Исследовать функцию f(x)=x 3 -3x 2 +4 с помощью производной и построить ее график.

Решение:

x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.

5) f(0)=4; f(2)=0

Используя результаты исследования, строим график функции: f(x)=x 3 -3x 2 +4

В заданиях ЕГЭ по математике обязательно встретиться исследование функции с помощью производной. Математический анализ – не самая простая в мире вещь. Но в КИМах не встречается такого, с чем бы не справился ученик средней школы, если он приложил достаточно стараний к учебе.

Будем вместе разбираться, что такое производная и как ее применять при исследовании функции.

Производная

Начертите ось координат и постройте любую элементарную функцию. Например, параболу для функции у = х 2 .

Вы сами видите, что на некотором участке функция убывает, на другом – возрастает. То есть изменяется. Вот эту динамику, иными словами, скорость, с которой функция изменяется, отражает производная (у" = f’(x)).

Например, отметьте на своем чертеже точку на оси Х, пускай наша точка будет под цифрой 1 – это х 1 , на цифре 2 будет х 2 . Дальше будем оперировать такими понятиями, как приращение аргумента – ∆х и приращение функции – ∆у. Что это такое? ∆х показывает, как функция изменяется по оси Х, ∆у отражает изменение функции по оси У.

Предположим, мы движемся по графику от точки х 1 к точке х 2 . Перемещение вправо по оси Х отражает приращение аргумента ∆х, вызванное им перемещение вверх по оси У – приращение функции ∆у. Мы можем объединить обе величины в неравенстве ∆у/∆х > 0, поскольку приращения положительные – мы ведь движемся вверх по возрастающему графику, «по ходу движения».

Мы взяли две довольно далеко отстоящие друг от друга точки. Но вообще можем подобрать ∆х для любой точки на выбранном отрезке, чтобы получить ∆у > 0. И на любом участке, где функция убывает, мы можем подобрать такое приращение аргумента, при котором ∆у < 0 и ∆у/∆х < 0.

Чем меньшее расстояние мы будем рассматривать, тем точнее опишем скорость изменения функции. Не все ведь графики такие простые, как этот. Поэтому говорят, что приращение аргумента стремиться к нулю (∆х → 0), т.е. к минимальному своему значению.

Возможно и такое неравенство: ∆у/∆х = 0 в самой верхней и самой нижней точке графика. В нашем случае она приходится на начало координат.

Записанное нами неравенство ∆у/∆х отражает суть производной – речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Производная в точке vs производная функции

Мы начали с того, что выбрали точку, от которой «стартует» наше приращения функции. Иными словами, мы определяли приращение функции в точке х 1.

Значит, производной функции в точке х 1 называют предел приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х в этой точке, при том, что ∆х → 0.

Записать сказанное можно так: f"(х 1) = lim х→0 f (х 1 + ∆х) – f(х 1) / ∆х = lim х→0 ∆у/∆х. Можно также провести касательную к графику в точке х 1 , тогда производную можно выразить через тангенс угла ее наклона к графику: f"(х 1) = lim х→0 ∆у/∆х = tgφ.

Если у предела есть границы (т.е. он конечен), возможно дифференцировать функцию в точке. Это также будет обозначать, что в этой точке функция является непрерывной. ∆х → 0, но ∆х ≠ 0. Кстати, из одного того, что функция непрерывна, вовсе не следует, что эту функцию можно дифференцировать в обязательном порядке.

Если вы заинтересовались, как же так, предлагаю вам найти соответствующий пример самостоятельно – не все же готовым на блюдечке получать. Тем более что для заданий ЕГЭ знать это вам не обязательно. И даже, кощунственную вещь скажу, можно не понимать, что такое производная. Главное научиться ее находить.

Сейчас мы говорили о производной в точке х 1 , но аналогичным образом мы можем произвести все те же манипуляции с любой другой точкой, поэтому имеем право записать формулу производной функции так: f"(х) = lim х→0 f (х+ ∆х) – f(х) / ∆х = lim х→0 ∆у/∆х. Или иначе y" = f"(x), которая происходит, «производится» от функции y = f(x).

Вот несколько производных для примера, больше их вы найдете в таблице производных, а некоторые рекомендуется запомнить со временем:

производная константы (С)" = 0;
производная степенной функции (x n)’ = nx n -1 ;
ее разновидность производная числа (x)’ = 1;
а также (√x)’ = 1/2√x;
и (1/x)’ = -1/x 2 .

Правила дифференцирования

Дифференцировать – значить выделить некие признаки, в случае с функцией – скорость ее изменения, об этом мы уже говорили. Т.е. вычислить производную.

Для вычисления производной (дифференцирования) самых разных функций существуют определенные общие правила. Сейчас мы их коротко вспомним, воспользовавшись статьей Александра Емелина с отличного сайта, посвященного высшей математике mathprofi.ru.

Постоянное число выносится за знак производной: (Cu)’ = Cu’, C = const.
Y = 3cos x, y’ = (3 cos x)’ = 3 (cos x)’ = 3(-sin x) = -3sin x;
Производная суммы равна сумме производных: (u ± v)’ = u’ ± v’ .
Y = 6 + x + 3x 2 – sin x – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x, y’ = (6 + x + 3x 2 – sinx – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x)’ = (6)’ + (x)’ + 3(x 2)’ – (sin x)’ – 2(x 1/3)’+ (x -2)’ – 11(ctgx)’ = 0 + 1 + 3*2x – cos x – 2*1/3x -2/3 + (-2)x -3 – 11(-1/sin 2 x) = 1 + 6x – cos x – 2/3 3 √x 2 – 2/x 3 + 11/sin 2 x;
Производная произведения функции: (uv)’ = u’v + uv’ .
Y = x 3 arcsin x, y’ = (x 3 arcsin x)’ = (x 3)’ * arcsin x + x 3 * (arcsin x)’= 3x 2 arcsin x + x 3 * 1/√1 – x 2 = 3x 2 arcsin x + x 3 /√1 – x 2 ;
Производная частного функции: (u/v)" = (u"v – uv")/v 2 .
Y = 2(3x – 4)/ x 2 + 1, y’ = (2(3x – 4)/ x 2 + 1)’ = 2 (3x – 4/ x 2 +1)’ = 2 * ((3x – 4)’* (x 2 + 1) – (3x – 4) * (x 2 + 1)’/(x 2 + 1) 2) = 2 (3(x 2 + 1) - (3x – 4) * 2x/ (x 2 + 1) 2) = 2 (-3x 2 + 8x + 3)/ (x 2 + 1) 2 ;
Производная сложной функции. Прямо сейчас она вам не понадобиться, поэтому ее мы рассматривать не будем.

Исследуем функцию с помощью производной

Итак, с присказкой разобрались, начинаем саму сказку. В части В КИМов по математике вам гарантировано попадется одна или даже нескольких задач, включающих исследование функции с помощью производной. К примеру, может потребоваться исследовать функцию на экстремумы, определить ее монотонность и т.д.

При помощи производной можно определить:

на каких интервалах график функции убывает и возрастает (исследуем монотонность);
минимальные и максимальные значения производной (исследуем на экстремумы);
наибольшее и наименьше значение функции, которая непрерывна на отрезке.

Сложность таких заданий зависит в первую очередь от того, какая функция попадется вам по условию. Но общий алгоритм действий останется для вас неизменным в любом случае. Вот и давайте разберем все по порядку.

Монотонность функции. Проще говоря, определение участков, на которых функция остается неизменной, т.е. «монотонной». А изменяется функция в критических точках, но про это ниже.

Порядок действий:

Найдите производную.
Найдите критические точки.
Определите знак производной и характер ее изменений на интервалах, которые отмеряют критические точки (руководствуясь достаточными условиями монотонности).
Запишите промежутки монотонности.

Функция возрастает, если большее значение функции соответствует большему значению аргумента: х 2 > х 1 и f(х 2) > f(х 1) на выбрано интервале. График при этом движется снизу вверх.

Функция убывает, если меньшее значение функции соответствует большему значению аргумента: х 2 > х 1 и f(х 2) < f(х 1) на выбранном интервале. График движется сверху вниз.

Поскольку функция возрастает и убывает в рамках интервала, ее можно назвать строго монотонной. А исследование функции на монотонность предполагает, что речь идет как раз об интервалах строгой монотонности.

Функция также может не убывать на интервале: f(х 2) ≥ f(х 1) – неубывающая функция. И аналогичным образом не возрастать на интервале: f(х 2) ≤ f(х 1) – невозрастающая функция.

Достаточные условия монотонности функции:

условие возрастания: если на выбранном интервале в каждой точке производная больше нуля (f"(х) > 0), то функция на этом интервале монотонно возрастает;
условие убывания: если на выбрано интервале в каждой точке производная меньше нуля (f"(х) < 0), то функция на этом интервале монотонно убывает;
условие постоянства (оно не только достаточное, но и необходимое): функция постоянна на выбранном интервале, когда производная равна нулю (f"(х) = 0) в каждой его точке.

Критической точкой называют ту, в которой производная равна нулю или ее значения не существует. Она может одновременно являться точкой экстремума, но может ею и не быть. Но об этом дальше.

Экстремумы функции. Т.е. такие значения переменной, при которой которых функция достигает своих максимальных и минимальных значений.

Порядок действий:

Обозначьте область определения функции, на каких интервалах она является непрерывной.
Найдите производную.
Найдите критические точки.
Определите, являются ли критические точки точками экстремумов (опираясь на достаточное условие экстремума).
Запишите экстремумы.

Необходимое условие экстремума:

Если х 0 – точка экстремума функции, то она является одновременно и критической точкой, в которой производная равна нулю или не существует.

Как уже говорилось выше, точка экстремума может и не совпадать с критической точкой. Например, для функции у = х 3 (рис.1), у =│х│(рис 2.), у = 3 √х точка экстремума отсутствует в критической точке.

Достаточное условия экстремума:

Если в точке х 0 функция является непрерывной, а ее производная меняет в ней знак, то х 0 – точка экстремума функции.

Если при переходе через точку х 0 изменяется знак производной с «+» на «-», то в данной точке функция достигает своего максимума: f"(х) > 0 при х < х 0 и f"(х) < 0 при х > х 0 .

Если при переходе через точку х 0 изменяется знак производной с «-» на «+», то в данной точке функция достигает своего минимума: f"(х) < 0 при х < х 0 и f"(х) > 0 при х > х 0 .

На графике точки экстремума отражают значения по оси Х, а экстремумы – значения по оси У. Их еще называют точками локального экстремума и локальными экстремумами . Но прямо сейчас знание о различиях между локальными и глобальными экстремумами вам не потребуется, поэтому останавливаться на этом не будем.

Максимум и минимум функции – не тождественные понятия с ее наибольшим и наименьшим значением. О том, что же этакое, ниже.

Наибольшее и наименьше значение функции, которая непрерывна на отрезке. Мы рассматриваем функцию на выбранном отрезке. Если функция в его пределах является непрерывной, то ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке приходятся либо на критические точки, которые ему принадлежат, либо на точки на его концах.

Порядок действий:

Наудите производную.
Найдите критические точки в пределах отрезка.
Вычислите значение функции в критических точках и на концах отрезка.
Из полученных значений выберите наибольшее и наименьшее.

Исследуем функцию – зачем?

Для чего нам исследовать функцию с помощью производной? Затем, чтобы лучше понять, как выглядит ее график. Да, сейчас в учебниках перед вами готовые графики к хорошо изученным элементарным функциям. Но в реальных «полевых» условиях дело зачастую обстоит с точностью до наоборот: незнакомая функция и пока не существующий график. И не все функции такие простые, как в школьных учебниках. Их графики одной лишь силой воображения представить невозможно.

Средства математического анализа позволяют досконально исследовать неизвестную функцию. Не разобрав подробно по полочкам все характеристики функции и ее производной верный график не построить. Именно поэтому в школьном курсе математики соответствующим заданиям уделяется такое внимание. И поэтому они вынесены на экзамен.

Задания части В стоят довольно высоких баллов. Поэтому уделите должное внимание тренировке определения производной и исследования функции с ее помощью. Эта статья создана как полезный при самоподготовке конспект. В котором собраны ключевые определения, пересказанные по возможности простым языком. И кратко изложены действия, которые вам следует предпринять при исследовании функции.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

МОУ средняя общеобразовательная школа № 18.

«Исследование функции с помощью производной».

Реферат по математике ко Дню науки.

Выполнила:

ученица 11”Б” класса

Бокарева Ирина Николаевна

Руководитель:

учитель математики

Батюкова Галина Викторовна.

Смоленск 2005

Введение. 3

Глава I. Развитие понятия функции. 4

Глава II. Основные свойства функции. 7

2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и

область значений функции. Нули функции. 7

2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические

функции). 8

2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. 10

Глава III. Исследование функций. 12

3.1. Общая схема исследования функций. 12

3.2. Признак возрастания и убывания функций. 12

3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. 13

3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. 14

Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. 15

Заключение. 22

Список литературы 23

Введение.

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.

Выбрав тему реферата «Исследование функции с помощью производной» я поставила следующие задачи:

Систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;

Усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.

Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Работа над содержанием темы «Исследование функций с помощью производной» повысит уровень моей математической подготовки, позволит решать задачи более высокой сложности по сравнению с обязательным курсом.

Глава I. Развитие понятия функции.

Принципиально новая часть курса алгебры посвящена изучению начал анализа. Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа – одна из важнейших целей курса.

Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.

Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И.Бернулли, несколько уточняя его. Правда, он не всегда придерживался вышеуказанного определения. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки».

В «Дифференциальном исчислении», вышедшим в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Большой вклад в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В , то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.

Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.

Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков.

Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции.

Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики.

Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие.

Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда не закончится и эволюция математики в целом.

Глава II. Основные свойства функции.

2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции.

Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).

Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.

Аналитический – с помощью формул.

Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.

Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.

Пример 1 . Найти область определения функции y=lg (2x-3)

Ответ: D(y)=(1,5; +∞).

Одним из понятий для исследования функции является нули функции.

Нули функции – это точки, в которых функция принимает значение нуля.

Пример 2. Найти нули функции y=x 2 -5x.

По определению:

Ответ: нулями функции являются точки x=0 и х=5.

Пример 3. Найти нули функции y=4x-8

По определению:

у=0, тогда

Ответ: нулями этой функции является точка х=2.

2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции).

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример 4. Определить вид функции y=2cos2x.

y=2cos2x, D(y)=R

y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – четная.

Пример 5. Определить вид функции y=x 4 -2x 2 +2.

y=x 4 -2x 2 +2, D(y)=R.

y(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 +2=x 4 -2x 2 +2=y(x) – четная.

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x.

y=2sin2x, D(y)=R