Решение системы линейных неравенств с 1 переменной. Калькулятор онлайн. Решение систем неравенств: линейные, квадратные и дробные

Программа для решения линейных, квадратных и дробных неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения одного из неравенств нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов при подготовке к контрольным работам, родителям для контроля решения неравенств их детьми.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода неравенств

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} y + \frac{1}{7}y^2 \)

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.

Первое неравенство системы.

Нажмите на кнопку для изменения типа первого неравенства.

> >= < <=

Решить систему неравенств

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки

С понятием системы вы познакомились в 7 классе и научились решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Далее будут рассмотрены системы линейных неравенств с одним неизвестным. Множества решений систем неравенств могут записываться с помощью промежутков (интервалов, полуинтервалов, отрезков, лучей). Также вы познакомитесь обозначениями числовых промежутков.

Если в неравенствах \(4x > 2000 \) и \(5x \leq 4000 \) неизвестное число х одно и то же, то эти неравенства рассматривают совместно и говорят, что они образуют систему неравенств: $$ \left\{\begin{array}{l} 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end{array}\right. $$

Фигурная скобка показывает, что нужно найти такие значения х, при которых оба неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. Данная система - пример системы линейных неравенств с одним неизвестным.

Решением системы неравенств с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. Решить систему неравенств - это значит найти все решения этой системы или установить, что их нет.

Неравенства \(x \geq -2 \) и \(x \leq 3 \) можно записать в виде двойного неравенства: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Решениями систем неравенств с одним неизвестным являются различные числовые множества. Эти множества имеют названия. Так, на числовой оси множество чисел х, таких, что \(-2 \leq x \leq 3 \), изображается отрезком с концами в точках -2 и 3.

-2

3

Если \(a отрезком и обозначается [а; b]

Если \(a интервалом и обозначается (а; b)

Множества чисел \(x \), удовлетворяющих неравенствам \(a \leq x полуинтервалами и обозначаются соответственно [а; b) и (а; b]

Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками .

Таким образом, числовые промежутки можно задавать в виде неравенств.

Решением неравенства с двумя неизвестными называется пара чисел (х; у), обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти множество всех его решений. Так, решениями неравенства х > у будут, например, пары чисел (5; 3), (-1; -1), так как \(5 \geq 3 \) и \(-1 \geq -1\)

Решение систем неравенств

Решать линейные неравенства с одним неизвестным вы уже научились. Знаете, что такое система неравенств и решение системы. Поэтому процесс решения систем неравенств с одним неизвестным не вызовет у вас затруднений.

И все же напомним: чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение этих решений.

Например, исходная система неравенств была приведена к виду:
$$ \left\{\begin{array}{l} x \geq -2 \\ x \leq 3 \end{array}\right. $$

Чтобы решить эту систему неравенств, отметим решение каждого неравенства на числовой оси и найдём их пересечение:

-2

3

Пересечением является отрезок [-2; 3] - это и есть решение исходной системы неравенств.

1. Понятие неравенства с одной переменной

2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

3. Решение неравенств с одной переменной

4. Графическое решение неравенств с одной переменной

5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

6. Основные выводы

Неравенства с одной переменной

Предложения 2х + 7 > 10-х, х 2 +7х < 2,(х + 2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) < g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Значение переменной x из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решени­ем. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2 x + 7 > 10 -х, х ? R является число x = 5, так как 2·5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множест­во его решений - это промежуток (1, ∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2 x + 7 > 10- x => 3 x >3 => x >1.

Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение.Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогич­ны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равно­сильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поме­няв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x) равносильны на множестве X.

f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то по­лучим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х ) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h (х ) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x) равносильны на множестве X .

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Решение неравенств с одной переменной

Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16, х ? R , и обоснуем все преоб­разования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2х + 16 яв­ляется промежуток (-∞, 7).

Упражнения

1. Установите, какие из следующих записей являются неравенства­ми с одной переменной:

а) -12 - 7х < 3x + 8; г) 12х + 3(х - 2);

б) 15(x + 2)>4; д) 17-12·8;

в) 17-(13 + 8) < 14-9; е) 2х 2 + 3x -4> 0.

2. Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) < 15(х + 2), х ? R ? А число 4,25?

3. Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:

а) -17х < -51 и х > 3;

б) (3x -1)/4 >0 и 3х -1>0;

в) 6-5x >-4 и х <2?

4. Какие из следующих высказываний истинны:

а) -7 х < -28 => x >4;

б) x < 6 => x < 5;

в) х < 6 => х < 20?

5. Решите неравенство 3(x - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.

6. Докажите, что решением неравенства 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2х ) является любое действительное число.

7. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 - х ) - 2 > 5 - 3х .

8. Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника:

а) меньше 22 см;

б) больше 17 см?

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕН­НОЙ. Для графического решения неравенства f (х) > g (х) нужно построить гра­фики функций

у = f (х) = g (х) и выбрать те проме­жутки оси абсцисс, на которых график функции у = f (х) расположен выше графика функции у = g (х).

Пример 17.8. Решите графически неравенство х 2 - 4 > 3х.

У - х* - 4

Решение. Построим в одной системе координат графи­ки функций

у = х 2 - 4 и у = Зх (рис. 17.5). Из рисунка видно, что графики функций у = х 2 - 4 расположен выше графика функции у = 3х при х < -1 и х > 4, т.е. множество решений исходного неравенства есть множество

(- ¥; -1) È (4; + оо).

Ответ: х Î (- оо; -1) и (4; + оо).

Графиком квадратичной функции у = ах 2 + bх + с является парабола с ветвя­ми, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0. При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня); парабола касается оси х (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служа­щей графиком функции у = ах 2 + bх + с (рис. 17.6). Используя эти иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

Пример 17.9. Решите неравенство: а) 2х г + 5х - 3 > 0; б) -Зх 2 - 2х - 6 < 0.

Решение, а) Уравнение 2х 2 + 5х -3 = 0 имеет два корня: х, = -3, х 2 = 0,5. Парабола, служащая графиком функции у = 2х 2 + 5х -3, показана на рис. а. Неравенство 2х 2 + 5х -3 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох: это будет при х < х х или при х > х г> т.е. при х < -3 или при х > 0,5. Значит, множество решений исходного неравенства есть множество (- ¥; -3) и (0,5; + ¥).

б) Уравнение -Зх 2 + 2х- 6 = 0 не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = - 3х 2 - 2х - 6, показана на рис. 17.6 Неравенство -3х 2 - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох. По­скольку вся парабола лежит ниже оси Ох, то множество решений исходного неравенства есть множество R.

НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ. При решении данных неравенств следует иметь в виду, что:

| f(х) | =

f(х) , если f(х) ³ 0,

- f(х) , если f(х) < 0,

При этом область допустимых значений неравенства следует разбить на ин­тервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохра­няют знак. Затем, раскрывая модули (с учетом знаков выражений), нужно решать неравенство на каждом интервале и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.

Пример 17.10. Решите неравенство:

|х -1| + |2- х| > 3+х.

Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (17.9) на три интервала: х < 1, 1 £ х £.2, х > 2. Решим данное неравенство на каждом из них. Если х < 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; поэтому |х -1| = - (х - I), |2 - х | = 2 - х. Значит, неравенство (17.9) принимает вид: 1- х + 2 - х > 3 + х, т.е. х < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Если 1 £ х £.2, то х - 1 ³ 0 и 2 – х ³ 0; поэтому | х- 1| = х - 1, |2 - х| = 2 – х. .Значит, имеет место система:

х – 1 + 2 – х > 3 + х,

Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на интервале [ 1; 2] множество решений неравенства (17.9) пусто.

Если х > 2, то х - 1 >0 и 2 – х <0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

х -1 + х – 2 > 3+х,

х > 6 или

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (17.9), получаем его решение - множество (-¥; 0) È (6; +оо).

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой | а | означает расстояние точки а коор­динатной прямой от начала отсчета О, а | а - b | означает расстояние между точка­ми а и b на координатной прямой. Кроме того, можно использовать метод возве­дения в квадрат обеих частей неравенства.

Теорема 17.5. Если выражения f (х) и g (х) при любых х принимают толь­ко неотрицательные значения, то неравенства f (х) > g (х) и f (х) ² > g (х) ² равносильны.

58. Основные выводы § 12

В данном параграфе мы определили следующие понятия:

Числовое выражение;

Значение числового выражения;

Выражение, не имеющее смысла;

Выражение с переменной (переменными);

Область определения выражения;

Тождественно равные выражения;

Тождество;

Тождественное преобразование выражения;

Числовое равенство;

Числовое неравенство;

Уравнение с одной переменной;

Корень уравнения;

Что значит решить уравнение;

Равносильные уравнения;

Неравенство с одной переменной;

Решение неравенства;

Что значит решить неравенство;

Равносильные неравенства.

Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.

Знание определений всех названных выше понятий и теорем о рав­носильности уравнений и неравенств - необходимое условие методи­чески грамотного изучения с младшими школьниками алгебраическо­го материала.

Сегодня на уроке мы обобщим наши знания при решении систем неравенств и изучим решение совокупности систем неравенств.

Определение первое .

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств.

Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто — решение системы неравенств).

Решить систему неравенств - значит найти все ее частные решения, либо доказать, что у данной системы решений нет.

Запомните! Решение системы неравенств - это пересечение решений неравенств, входящих в систему.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой.

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:

Перовое — отдельно решить каждое неравенство.

Второе — найти пересечение найденных решений.

Это пересечение и является множеством решений системы неравенств

Задание 1

Решить систему неравенств семь икс минус сорок два меньше либо равно нулю и два икс минус семь больше нуля.

Решение первого неравенства — икс меньше либо равно шести, второго неравенства - икс больше семи вторых. Отметим эти промежутки на координатной прямой. Решение первого неравенства помечено штриховкой снизу, второго неравенства - штриховкой сверху. Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств, то есть промежуток, на котором обе штриховки совпали. В итоге получаем полуинтервал от семи вторых до шести, включая шесть.

Задание 2

Решить систему неравенств: икс квадрат плюс икс минус шесть больше нуля и икс квадрат плюс икс плюс шесть больше нуля.

Решение

Решим первое неравенство — икс квадрат плюс икс минус шесть больше нуля.

Рассмотрим функцию игрек равен икс квадрат плюс икс минус шесть. Нули функции: икс первое равно минус трем, икс второе равно двум. Изображая схематически параболу, найдем, что решением первого неравенства является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.

Решим второе неравенство системы икс квадрат плюс икс плюс шесть больше нуля.

Рассмотрим функцию игрек равен икс квадрат плюс икс плюс шесть. Дискриминант равен минус двадцати трем меньше нуля, значит, функция не имеет нулей. Парабола не имеет общих точек с осью Ох. Изображая схематически параболу, найдем, что решением неравенства является множество всех чисел.

Изобразим на координатной прямой решения неравенств системы.

Из рисунка видно, что решением системы является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.

Ответ:объединение открытых числовых лучей от минуса бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.

Запомните! Если в системе из нескольких неравенств одно является следствием другого (или других), то неравенство-следствие можно отбросить.

Рассмотрим пример решения неравенства системой.

Задание 3

Решить неравенство логарифм выражения икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два по основанию два больше либо равно единице.

Решение

ОДЗ неравенства задается условием икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два больше нуля. Представим число один как логарифм двух по основанию два и получим неравенство — логарифм выражения икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два по основанию два больше либо равно логарифму двух по основанию два.

Видим, что основание логарифма равно двум больше одного, то приходим к равносильному неравенству икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два больше либо равно двум. Следовательно, решение данного логарифмического неравенства сводится к решению системы двух квадратных неравенств.

Причем легко заметить, если выполнено второе неравенство, то тем более выполняется первое неравенство. Поэтому первое неравенство - следствие второго, и его можно отбросить. Второе неравенство преобразуем и запишем в виде: икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок больше нуля. Решением его является объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности.

Ответ:объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности.

открытых числовых лучей

Определение второе .

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением, хотя бы одного из заданных неравенств.

Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств.

Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой общее решение совокупности неравенств.

Запомните! Решение совокупности неравенств - объединение решений неравенств, входящих в совокупность.

Неравенства, входящие в совокупность, объединяются квадратной скобкой.

Алгоритм решения совокупности неравенств:

Первое — отдельно решить каждое неравенство.

Второе — найти объединение найденных решений.

Это объединение и является решением совокупности неравенств.

Задание 4

ноль целых две десятых умноженное на разность двух икс и трех меньше икс минус два;

пять икс минус семь больше икс минус шесть.

Решение

Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность

икс больше семи третьих;

икс больше одной четвертой.

Для первого неравенства множеством решений служит промежуток от семи третьих до плюс бесконечности, а для второго - промежуток от одной четвертой до плюс бесконечности.

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенствам икс больше семи третьих и икс больше одной четвертой.

Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.

Ответ: открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.

Задание 5

Решить совокупность неравенств:

два икс минус один меньше трех и три икс минус два больше либо равно десяти.

Решение

Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность неравенств: икс больше двух и икс больше либо равно четырем.

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих этим неравенствам.

Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Ответ: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Тема урока «Решение неравенств и их систем» (математика 9 класс)

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний и умений

Технология урока: технология развития критического мышления, дифференцированное обучение, ИКТ-технологии

Цель урока : повторить и систематизировать знания о свойствах неравенств и методах их решения, создать условия для формирования умений применять эти знания при решении стандартных и творческих задач.

Задачи.

Образовательные:

способствовать развитию умений обучающихся обобщать полученные знания, проводить анализ, синтез, сравнения, делать необходимые выводы

организовать деятельность обучающихся по применению полученных знаний на практике

содействовать развитию умений применять полученные знания в нестандартных условиях

Развивающие:

продолжить формирование логического мышления, внимания и памяти;

совершенствовать навыки анализа, систематизации, обобщения;

создание условий, обеспечивающих формирование у учеников навыков самоконтроля;

способствовать овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности.

Воспитательные:

воспитывать дисциплинированность и собранность, ответственность, самостоятельность, критичное отношение к себе, внимательность.

Планируемые образовательные результаты.

Личностные: ответственное отношение к учению и коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в процессе образовательной деятельности.

Познавательные: умение определять понятия, создавать обобщения, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, строить логическое рассуждение, делать выводы;

Регулятивные: умение определять потенциальные затруднения при решении учебной и познавательной задачи и находить средства для их устранения, выполнять оценку своих достижений

Коммуникативные: умение высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий, формулировать вопросы и ответы в ходе выполнения задания, обмениваться знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений.

Основные термины, понятия: линейноенеравенство, квадратное неравенство, система неравенств.

Оборудование

Проектор, ноутбук учителя, несколько нетбуков для учащихся;

Презентация;

Карточки с основными знаниями и умениями по теме урока (приложение 1);

Карточки с самостоятельной работой (приложение 2).

План урока

Ход урока
Технологические этапы. Цель.	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Вводно-мотивационный компонент
1.Организационный Цель: психологическая подготовка к общению.	Здравствуйте. Рада вас всех видеть. Садитесь. Проверьте все ли у вас готово к уроку. Если все в порядке, то посмотрите на меня.	Здороваются. Проверяют принадлежности. Настраиваются на работу.	Личностные. Формируются ответственное отношение к учению.
2.Актуализация знаний (2 мин) Цель: определить индивидуальные пробелы в знаниях по теме	Тема нашего урока «Решение неравенств с одной переменной и их систем». (слайд 1) Перед вами перечень основных знаний и умений по теме. Оцените свои знания и умения. Расставьте соответствующие значки. (слайд 2)	Оценивают собственные знания и умения. (приложение 1)	Регулятивные Самооценка своих знаний и умений
3.Мотивация (2 мин) Цель: обеспечить деятельность по определению целей урока.	В работе ОГЭ по математике несколько вопросов и первой, и второй части определяют умения решать неравенства. Что нам нужно повторить на уроке, чтобы успешно справиться с этими заданиями?	Рассуждают, называют вопросы для повторения.	Познавательные. Выделяют и формулируют познавательную цель.
Этап осмысления (содержательный компонент)
4.Самооценка и выбор траектории (1-2 мин)	В зависимости от того как вы оценили свои знания и умения по теме, выберите форму работы на уроке. Вы можете работать со всем классом вместе со мной. Можете работать индивидуально на нетбуках, пользуясь моей консультацией или в парах, помогая друг другу.	Определяются с индивидуальной траекторией обучения. При необходимости меняются местами.	Регулятивные определять потенциальные затруднения при решении учебной и познавательной задачи и находить средства для их устранения
5-7 Работа в парах или индивидуально (25 мин)	Учитель консультирует учеников, работающих самостоятельно.	Ученики, хорошо знающие тему работают индивидуально или в парах с презентацией (слайды 4-10) Выполняют задания (слайды 6,9).	Познавательные умение определять понятия, создавать обобщения, выстраивать логическую цепь Регулятивные умение определять действия в соответствии с учебной и познавательной задачей Коммуникативные умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность, работать с источником информации Личностные ответственное отношение к учению, готовность и способность к саморазвитию и самообразованию
5.Решение линейных неравенств. (10 мин)	Какие свойства неравенств используем при их решении? Можете ли вы отличить линейные, квадратные неравенства и их системы? (слайд 5) Как решить линейное неравенство? Выполните решение. (слайд 6) Учитель следит за решением у доски. Проверьте правильность решения.	Называют свойства неравенств, после ответа или в случае затруднения учитель открывает слайд 4. Называют отличительные признаки неравенств. Используя свойства неравенств. Один ученик решает у доски неравенство №1. Остальные в тетрадях, следят за решением отвечающего. Неравенства №2 и 3 выполняют самостоятельно. Сверяются с готовым ответом.	Познавательные Коммуникативные
6.Решение квадратных неравенств. (10 мин)	Как решить неравенство ? Какое это неравенство? Какие методы используют при решении квадратных неравенств? Вспомним метод параболы (слайд 7) Учитель напоминает этапы решения неравенства. Метод интервалов применяют для решения неравенств второй и более высоких степеней. (слайд 8) Для решения квадратных неравенств вы можете выбрать метод, удобный вам. Решите неравенства. (слайд 9). Учитель следит за ходом решения, напоминает способы решения неполных квадратных уравнений. Учитель консультирует индивидуально работающих учеников.	Ответ: Квадратное неравенство решаем методом параболы или методом интервалов. Учащиеся следят за решением по презентации. У доски ученики по очереди решают неравенства №1 и 2. Сверяются с ответом. (для решения нер-ва №2 надо вспомнить способ решения неполных квадратных уравнений). Неравенство №3 решают самостоятельно, сверяются с ответом.	Познавательные умение определять понятия, создавать обобщения, строить рассуждение от общих закономерностей к частным решениям Коммуникативные умение представлять в устной и письменной форме развернутый план собственной деятельности;
7.Решение систем неравенств (4-5 мин)	Вспомните этапы решения системы неравенств. Решите систему (Слайд 10)	Называют этапы решения Ученик решает у доски, сверяется с решением на слайде.
Рефлексивно-оценочный этап
8.Контроль и проверка знаний (10 мин) Цель: выявить качество усвоения материала.	Проверим ваши знания по теме. Решите самостоятельно задания. Учитель проверяет результат по готовым ответам.	Выполняют самостоятельную работу по вариантам (приложение 2) Выполнив работу, ученик сообщает об этом учителю. Ученик определяет свою оценку по критериям (слайд 11). При успешном выполнении работы, может приступить к дополнительному заданию (слайд 11)	Познавательные. Строят логические цепи рассуждений.
9.Рефлексия (2 мин) Цель: формируется адекватная самооценка своих возможностей и способностей, достоинств и ограничений	Есть ли улучшение результата? Если ещё есть вопросы, дома обратитесь к учебнику (стр.120)	Оценивают собственные знания и умения на том же листочке (приложение 1). Сравнивают с самооценкой в начале урока, делают выводы.	Регулятивные Самооценка своих достижений
10.Домашнее задание (2 мин) Цель: закрепление изученного материала.	Домашнее задания определите по результатам самостоятельной работы (слайд 13)	Определяют и записывают индивидуальное задание	Познавательные. Строят логические цепи рассуждений. Производят анализ и преобразование информации.

Список использованной литературы : Алгебра. Учебник для 9 класса. / Ю.Н.Макрычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. - М.: Просвещение, 2014

Тема урока: Решение системы линейных неравенств с одной переменной

Дата: _______________

Класс: 6а, 6б, 6в

Тип урока: изучение нового материала и первичное закрепление.

Дидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации.

Цели: 1) Образовательная: ввести понятия: решение систем неравенств, равносильные системы неравенств и их свойства; научить применять эти понятия при решении простейших систем неравенств с одной переменной.

2) Развивающая: способствовать развитию элементов творческой, самостоятельной деятельности учащихся; развивать речь, умение мыслить, анализировать, обобщать, высказывать свои мысли четко, лаконично.

3) Воспитательная: воспитание уважительного отношения друг к другу и ответственного отношения к учебному труду.

Задачи:

повторить теорию по теме числовые неравенства и числовые промежутки;

привести пример задачи, которая решается системой неравенств;

рассмотреть примеры решения систем неравенств;

выполнить самостоятельную работу.

Формы организации учебной деятельности: - фронтальная – коллективная - индивидуальная.

Методы: объяснительно – иллюстративный.

План урока:

1. Организационный момент, мотивация, постановка цели

2. Актуализация изучения темы

3. Изучение нового материала

4. Первичное закрепление и применение нового материала

5. Выполнение самостоятельной работы

7. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Ход урока:

1. Организационный момент

Неравенство может быть хорошим помощником. Только надо знать, когда к нему необходимо обратиться за помощью. На языке неравенств нередко формулируется постановка задач во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств. Поэтому важно уметь решать системы неравенств. А что же значит – «решить систему неравенств»? Это мы и разберем сегодня на уроке.

2. Актуализация знаний.

Устная работа с классом, три ученика работают по индивидуальным карточкам .

Для повторения теории темы «Неравенства и их свойства», проведем тестирование с последующей проверкой и беседой по теории данной темы. Каждое задание теста предполагает ответ «Да» - фигура , «Нет» - фигура ____

В результате выполнения теста должна получиться какая-то фигура.

(ответ: ).

Установить соответствие между неравенством и числовым промежутком

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

«Математика учит преодолевать трудности и исправлять собственные ошибки». Найдите ошибку в решении неравенства, объясните, почему допущена ошибка, запишите в тетрадь правильное решение.

2х<8-6

х>-1

3. Изучение нового материала.

Как вы думаете, что называется решением системы неравенств?

(Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы)

Что значит « Решить систему неравенств»?

(Решить систему неравенств– значит найти все её решения или доказать, что решений нет)

Что надо сделать, чтобы ответить на вопрос « является ли заданное число

решением системы неравенств?»

(Подставить это число в оба неравенства системы, если получатся верные неравенства, то заданное число является решением системы неравенств, если получатся неверные неравенства, то заданное число не является решение системы неравенств)

Сформулировать алгоритм решения систем неравенств

1. Решить каждое неравенство системы.

2. Изобразить графически решения каждого неравенства на координатной прямой.

3. Найти пересечение решений неравенств на координатной прямой.

4. Записать ответ в виде числового промежутка.

Рассмотреть примеры:

Ответ:

Ответ: нет решений

4. Закрепление темы.

Работа с учебником № 1016 , № 1018, № 1022

5. Самостоятельная работа по вариантам (Карточки- задания для учащихся на столах)

Самостоятельная работа

Вариант 1

Решите систему неравенств: