Непрерывная случайная величина, функция распределения и плотность вероятности. Дискретные случайные величины

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .

Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$

Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end{array}$

Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
2. Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$

Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$

В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$.

Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$

Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$

Свойства функции распределения :

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 9 . Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$

Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$).

Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины (дифференциальной функцией распределения) называют первую производную от интегральной функции распределения: f(x)=F’(X). Из этого определения и свойств функции распределения следует, что

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называют число

Дисперсия непрерывной случайной величины X определяется равенством

Пример 79. Плотность распределения времени Т сборки РЭА на поточной линии

Найти коэффициент A , функцию распределения времени сбор­ки РЭА и вероятность того, что время сборки будет находиться в пределах интервала (0,1А).

Решение. На основании свойства функции распределения случайной величины

Дважды интегрируя по частям, получаем

Функция распределения равна

Вероятность того, что время сборки РЭА не выйдет за пре­делы (0; 1/λ):

Пример 80 . Плотность вероятности отклонения выходного сопротивления блока РЭА от номинального значения R 0 в пре­делах поля допуска 2δ описывается законом

Найти математическое ожидание и дисперсию отклонения со­противления от номинального значения.

Решение.

Поскольку подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, интеграл равен 0.

Следовательно, M {R } = 0.

Сделав подстановку r = a sin x , получим

Пример 81. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти: 1. F(x); 2. M(X); 3. Д(X).

Решение. 1. Для отыскания F(x) используем формулу

Если
, то

а

Если
, то

Если
,то f(x)=0, а

3.

Дважды интегрируя по частям получим:

, тогда

82. Найти f(x), M(X), Д(X) в задачах 74, 75.

83. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

84. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ох равенством
. Найти постоянный параметр С.

85. Случайная величина X в интервале (-3, 3) задана плотностью распределения
; вне этого интервала

а) Найти дисперсию X;

б) что вероятнее: в результате испытания окажется X<1 или X>1?

86. Найти дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения

87. Случайная величина задана функцией распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

§8. Равномерное и показательное распределения

Равномерным называют распределение непрерывной случайной величины X, если на интервале (a,b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а вне этого интервала равна нулю, т.е.

Показательным (экспоненциальным) распределением называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью

где λ – постоянная положительная величина. Функция распределения показательного закона

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

;
;

Пример 88. Цена деления шкалы амперметра равна 0,10А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале (0;0,1) между двумя целыми делениями. Следовательно,

Тогда
.

Пример 89. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что за время длительностью t=100 часов: a) элемент откажет; б) элемент не откажет.

Решение. а) По определению
, следовательно она определяет вероятность отказа элемента за время t, поэтому

б) Событие «элемент не откажет» является противоположным рассмотренному, поэтому его вероятность

90. Радиоэлектронный блок собирается на поточной линии, такт сборки 2 мин. Готовый блок снимается с конвейера для контроля и регулировки в произвольный момент времени в пределах такта. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени нахождения готового блока на конвейере. Время нахождения блока на конвейере подчиняется зако­ну равномерного распределения случайных величин.

91. Вероятность выхода из строя РЭА за определенное время выражается формулой . Определить среднее время работы РЭА до выхода из строя.

92. Разрабатываемый спутник связи должен характеризоваться средним временем наработки на отказ 5 лет. Считая реальное время наработки на отказ случайной экспоненциально распределенной величиной, определите вероятность того, что

а) спутник проработает менее 5 лет,

б) спутник проработает не менее 10 лет,

в) спутник откажет в течение 6-го года.

93. Некий квартиросъемщик купил четыре лампочки накаливания со средним сроком службы 1000 ч. Одну из них он установил в настольную лампу, а остальные оставил про запас, на случай, если лампа перегорит. Определите:

а) ожидаемую суммарную продолжительность службы четырех ламп,

б) вероятность того, что четыре лампы в сумме проработают 5000 часов или более,

в) вероятность того, что общий срок службы всех ламп не превысит 2000 часов.

94. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

95. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

96. Найти математическое ожидание случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

97. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

98. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение
, второго
. Найти вероятность того, что за время длительностью t=6 ч: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения F (x ) . Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда её называют дифференциальной функцией).

Определение4.1: Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x ) - первую производную от функции распределения F (x ) :

f ( x ) = F "( x ) .

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащие интервалу (a , b ), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b :

Доказательство: Используем соотношение

P (a ≤ X b ) = F (b ) – F (a ).

По формуле Ньютона-Лейбница,

Таким образом,

.

Так как P (a ≤ X b )= P (a X b ) , то окончательно получим

.

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a , b ), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox , кривой распределения f (x ) и прямыми x = a и x = b .

Замечание: В частности, если f (x ) – чётная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

.

Пример. Задана плотность вероятности случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащие интервалу (0,5; 1).

Решение: Искомая вероятность

.

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения f (x ) , можно найти функцию распределения F (x ) по формуле

.

Действительно, F (x ) = P (X x ) = P (-∞ X x ) .

Следовательно,

.

Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения можно найти плотность распределения , а именно:

f (x ) = F "(x ).

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение: Воспользуемся формулой

Если x ≤ a , то f (x ) = 0 , следовательно, F (x ) = 0 . Если a , то f(x) = 1/(b-a) ,

следовательно,

.

Если x > b , то

.

Итак, искомая функция распределения

Замечание: Получили функцию распределения равномерно распределенной случайной величины (см. равномерное распределение).

Свойства плотности распределения

Свойство 1: Плотность распределения - неотрицательная функция:

f ( x ) ≥ 0 .

Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице:

.

Замечание: График плотности распределения называют кривой распределения .

Замечание: Плотность распределения непрерывной случайной величины также называют законом распределения.

Пример. Плотность распределения случайной величины имеет следующий вид:

Найти постоянный параметр a .

Решение: Плотность распределения должна удовлетворять условию , поэтому потребуем, чтобы выполнялось равенство

.

Отсюда
. Найдём неопределённый интеграл:

.

Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом, искомый параметр

.

Вероятный смысл плотности распределения

Пусть F (x ) – функция распределения непрерывной случайной величины X . По определению плотности распределения, f (x ) = F "(x ) , или

Разность F (x +∆х) - F (x ) определяет вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (x , x +∆х) . Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (x , x +∆х) , к длине этого интервала (при ∆х→0 ) равен значению плотности распределения в точке х .

Итак, функция f (x ) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х . Из дифференциального исчисления известно,что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т.е.

Так как F "(x ) = f (x ) и dx = ∆ x , то F (x +∆ x ) - F (x ) ≈ f (x )∆ x .

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (x , x +∆ x ) ,приближенно равна произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала ∆х .

Геометрически этот результат можно истолковать так : вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (x , x +∆ x ) ,приближенно равна площади прямоугольника с основанием ∆х и высотой f (x ).

5. Типовые распределения дискретных случайных величин

5.1. Распределение Бернулли

Определение5.1: Случайная величина X , принимающая два значения 1 и 0 с вероятностями (“успеха”) p и (“неуспеха”) q , называется Бернуллиевской :

, где k =0,1.

5.2. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления q = 1 - p ).

Рассмотрим случайную величину X – число появлений события A в этих испытаниях. Случайная величина X принимает значения 0,1,2,… n с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: , где k = 0,1,2,… n .

Определение5.2: Биномиальным называют раcпределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Пример. По мишени производится три выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти ее ряд распределения.

Решение: Случайная величина X принимает значения 0,1,2,3 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли, где n = 3, p = 0,8 (вероятность попадания), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (вероятность непопадания).

Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, поэтому для подсчета соответствующих вероятностей используют локальную теорему Лапласа, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа : Если вероятность p появления события A
того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n ) значению функции
, где
, .

Замечание1: Таблицы, в которых помещены значения функции
, даны в приложении 1, причем
. Функция является плотностью стандартного нормального распределения (смотри нормальное распределение).

Пример: Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: По условию n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Вычислим определяемое данными задачи значение x :
. По таблице приложения 1 находим
. Тогда искомая вероятность будет:

Если нужно вычислить вероятность того, что событие A появится в n испытаниях не менее k 1 раз и не более k 2 раз, то нужно использовать интегральную теорему Лапласа:

Интегральная теорема Лапласа : Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна определенному интегралу

, где
и
.

Другими словами, вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна

где
, и .

Замечание2: Функцию
называют функцией Лапласа (смотри нормальное распределение). Таблицы, в которых помещены значения функции , даны в приложении 2, причем
.

Пример: Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей, если вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2.

Решение: По условию n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

;
.

Таким образом, имеем:

По таблице приложения 2 находим, что
и
. Тогда искомая вероятность равна:

Замечание3: В сериях независимых испытаний (когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона (смотри распределение Пуассона).

5.3. Распределение Пуассона

Определение5.3: Дискретную случайную величину называют Пуассоновской, если ее закон распределения имеет следующий вид:

, где
и
(постоянное значение).

Примеры Пуассоновских случайных величин:

Число вызовов на автоматическую станцию за промежуток времени T .

Число частиц распада некоторого радиоактивного вещества за промежуток времени T .

Число телевизоров, которые поступают в мастерскую за промежуток времени T в большом городе.

Число автомобилей, которые поступят к стоп-линии перекрестка в большом городе.

Замечание1: Специальные таблицы для вычисления данных вероятностей приведены в приложении 3.

Замечание2: В сериях независимых испытаний (когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона:
, где
, то есть среднее число появлений событий остается постоянным.

Замечание3: Если есть случайная величина, которая распределена по закону Пуассона, то обязательно есть случайная величина, которая распределена по показательному закону и, наоборот (см. Показательное распределение).

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002 . Найти вероятность, что на базу прибудут ровно три негодных изделия.

Решение: По условию n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Найдем λ: λ = np = 5000·0,0002 = 1 .

По формуле Пуассона искомая вероятность равна:

, где случайная величина X – число негодных изделий.

5.4. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (0 p

q = 1 - p . Испытания заканчиваются, как только появится событие А . Таким образом, если событие А появилось в k -м испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А . Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа х 1 = 1, х 2 = 2, …

Пусть в первых k -1 испытаниях событие А не наступило, а в k -м испытании появилось. Вероятность этого “сложного события”, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P (X = k ) = q k -1 p .

Определение5.4: Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение , если ее закон распределения имеет следующий вид:

P ( X = k ) = q k -1 p , где
.

Замечание1: Полагая k = 1,2,… , получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0q . По этой причине распределение называют геометрическим.

Замечание2: Ряд
сходится и сумма его равна единице. Действительно сумма ряда равна
.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 . Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение: По условию p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Искомая вероятность равна:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Гипергеометрическое распределение

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в партии из N изделий имеется M стандартных (M N ). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь не применима).

Обозначим через X случайную величину – число m стандартных изделий среди n отобранных. Тогда возможными значениями X будут 0, 1, 2,…, min ; обозначим их и, ... по значениям независимой переменной (Fonds) воспользуемся кнопкой (раздел ...

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Общий психологический практикум»

Учебно-методический комплекс

... методические указания по выполнению практических работ 5.1 Методические рекомендации по выполнению учебных проектов 5.2 Методические рекомендации по ... чувствительности), одномерного и многомерного... случайного компонента в величине ... с разделом «Представление...

Учебно-методический комплекс по дисциплине физика (название)

Учебно-методический комплекс

... разделов в учебниках. Решение задач по каждой теме. Проработка методических указаний к лабораторным работам по ... случайной и приборной погрешности измерений 1.8 Тематика контрольных работ и методические указания по ... Частица в одномерной потенциальной яме. ...

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине информатика

Методические указания

... Методические указания к ЛАБОРАТОРНым РАБОТАМ по ... величиной , а наибольшей суммой величин ... массива случайными числами... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 а) одномерный массив б) двумерный массив Рис. 2– Файлы... описываются в разделе реализации после...

Математическое ожидание

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x) Задана функция распределения F(x)

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:

Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле

Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:

Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть . Числовые характеристики X :

Следовательно, . Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: .

Ответ: .

Пример 2.11. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.

Решение: Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:

.

Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4.

Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы:

.

Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Ответ: , .

Пример 2.12. Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых.

Решение: В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число роз;

-- число белых роз;

– число одновременно взятых роз;

-- число белых роз среди взятых.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.13. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число собранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке;

– число выбранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных.

.

.

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.14. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Теперь вычислим числовые характеристики величины :

Ответ: , .

Пример 2.15. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает.

Решение: Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны .

Составим ряд распределения случайной величины:

	0,2

Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера:

Ответ: , .

Пример 2.16. Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p . Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N приборов.

Решение: Дискретная случайная величина X - число отказавших приборов в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p, распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

Пример 2.17. Дискретная случайная величина X принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X ) = 8.

Решение: Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины:

Находим: .

Пример 2.18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

Решение: В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле:

,

где - число партий;

Вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия.

Вероятность найдем по формуле Бернулли:

Ответ: .

Пример 2.19. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M (X ) = 0,9.

Решение: Задачу можно решить двумя способами.

1) Возможные значения СВ X : 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий:

, , .

Тогда закон распределения X имеет вид:

Из определения математического ожидания определим вероятность :

Найдем дисперсию СВ X :

.

2) Можно использовать формулу:

.

Ответ: .

Пример 2.20. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Решение: Вероятность попадания нормальной случайной величины Х на участок от до выражается через функцию Лапласа:

Пример 2.21. Дана функция:

При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X ? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X .

Решение: Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству:

.

Следовательно:

Вычислим математическое ожидание по формуле:

.

Вычислим дисперсию по формуле:

T равна p . Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение: Закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании:

.

Пример 2.25. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах.

Решение: Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X - число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Пример 2.26. Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент.

Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: . .

Пример 2.29. Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд.

Решение: В этом примере математическое ожидание , а интенсивность отказов равна .

Тогда искомая вероятность:

Пример 2.30. Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда?

Решение:

Пример 2.31.

Тогда согласно классическому определению вероятности:

где -- число деталей в партии;

-- число нестандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число нестандартных деталей среди отобранных.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой.