Как зависит изменение показательной функции от основания. Показательная функция – свойства, графики, формулы

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.

Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств , как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Показательная функция

Что такое показательная функция?

Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией .

Основные свойства показательной функции y = a x :

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента :

Графики показательных функций (экспоненты)

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение a f (x ) = a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Ответ: x = 6.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x .

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x -2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x ). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение: представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 3 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:

Воспользуемся подстановкой:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t :

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 9. Решите неравенство:

Решение:

Делим обе части неравенства на выражение:

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

t , находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение:

Ветви параболы y = 2x +2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y = x 2 -2x +2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x +2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: x = 1.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

Сергей Валерьевич

P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.

Введем сначала определение показательной функции.

Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$.

Введем свойства показательной функции, при $a >1$.

\ \[корней\ нет.\] \

Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке $(0,1)$.

$f""\left(x\right)={\left(a^xlna\right)}"=a^x{ln}^2a$

\ \[корней\ нет.\] \

График (рис. 1).

Рисунок 1. График функции $f\left(x\right)=a^x,\ при\ a >1$.

Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $0

Введем свойства показательной функции, при $0

Область определения -- все действительные числа.

$f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ -- функция ни четна, ни нечетна.

$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

Область значения -- интервал $(0,+\infty)$.

$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$

\ \[корней\ нет.\] \ \[корней\ нет.\] \

Функция выпукла на всей области определения.

Поведение на концах области определения:

\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=0\]

График (рис. 2).

Пример задачи на построение показательной функции

Исследовать и построить график функции $y=2^x+3$.

Решение.

Проведем исследование по примеру схемы выше:

Область определения -- все действительные числа.

$f\left(-x\right)=2^{-x}+3$ -- функция ни четна, ни нечетна.

$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

Область значения -- интервал $(3,+\infty)$.

$f"\left(x\right)={\left(2^x+3\right)}"=2^xln2>0$

Функция возрастает на всей области определения.

$f(x)\ge 0$ на всей области определения.

Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,4)$

$f""\left(x\right)={\left(2^xln2\right)}"=2^x{ln}^22>0$

Функция выпукла на всей области определения.

Поведение на концах области определения:

\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0\] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty \]

График (рис. 3).

Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=2^x+3$

1.Показательная функция – это функция вида у(х) =а х, зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).

Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0
a) a < 0
Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2

Если а = 0 – функция у = определена и имеет постоянное значение 0

в) а =1
Если а = 1 – функция у = определена и имеет постоянное значение 1

2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:

0

Область определения функции (ООФ)

Область допустимых значений функции (ОДЗ)

3. Нули функции (у = 0)

4. Точки пересечения с осью ординат oy (x = 0)

5. Возрастания, убывания функции

Если , то функция f(x) возрастает
Если , то функция f(x) убывает
Функция y= , при 0 Функция у =, при a> 1 монотонно возрастает
Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.

6. Чётность, нечётность функции

Функция у = не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида)

7. Функция у = экстремумов не имеет

8. Свойства степени с действительным показателем:

Пусть а > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Тогда для xϵR; yϵR:

Свойства монотонности степени:

если , то
Например:

Если a> 0, , то .
Показательная функция непрерывна в любой точке ϵ R.

9. Относительное расположение фунцкции

Чем больше основание а, тем ближе к осям ох и оу

a > 1, a = 20

Если а0, то показательная функция принимает вид близкий к y = 0.
Если а1, то дальше от осей ох и оу и график принимает вид близкий к функции у = 1.

Пример 1.
Построить график у =

Урок № 2

Тема: Показательная функция, её свойства и график.

Цель: Проверить качество усвоения понятия «показательная функция»; сформировать умения и навыки по распознаванию показательной функции, по использованию её свойств и графиков, научить учащихся пользоваться аналитической и графической формами записи показательной функции; обеспечить рабочую обстановку на уроке.

Оборудование: доска, плакаты

Форма урока : классно-урочная

Вид урока : практическое занятие

Тип урока : урок обучения умениям и навыкам

План урока

1. Организационный момент

2. Самостоятельная работа и проверка домашнего задания

3. Решение задач

4. Подведение итогов

5. Задание на дом

Ход урока .

1. Организационный момент :

Здравствуйте. Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока «Показательная функция». Сегодня будем продолжать изучать показательную функцию, её свойства и график.

2. Самостоятельная работа и проверка домашнего задания .

Цель: проверить качество усвоения понятия «показательная функция» и проверить выполнение теоретической части домашнего задания

Метод: тестовое задание, фронтальный опрос

В качестве домашнего задания вам были заданы номера из задачника и параграф из учебника. Выполнение номеров из учебника проверять сейчас не будем, но вы сдадите тетради в конце урока. Сейчас же будет проведена проверка теории в виде маленького теста. Задание у всех одинаковое: вам дан перечень функций, вы должны узнать какие из них являются показательными (подчеркнуть их). И рядом с показательной функцией необходимо написать является она возрастающей, либо убывающей.

Вариант 1 Ответ Б) Д) - показательная, убывающая	Вариант 2 Ответ Г) - показательная, убывающая Д) - показательная, возрастающая
Вариант 3 Ответ А) - показательная, возрастающая Б) - показательная, убывающая	Вариант 4 Ответ А) - показательная, убывающая В) - показательная, возрастающая

Теперь вместе вспомним, какая функция называется показательной?

Функция вида , где и , называется показательной функцией.

Какая область определения у этой функции?

Все действительные числа.

Какая область значений показательной функции?

Все положительные действительные числа.

Убывает если основание степени больше нуля, но меньше единицы.

В каком случае показательная функция убывает на своей области определения?

Возрастает, если основание степени больше единицы.

3. Решение задач

Цель : сформировать умения и навыки по распознаванию показательной функции, по использованию её свойств и графиков, научить учащихся пользоваться аналитической и графической формами записи показательной функции

Метод : демонстрация учителем решения типичных задач, устная работа, работа у доски, работа в тетради, беседа учителя с учащимися.

Свойства показательной функции можно использовать при сравнении 2-х и более чисел. Например: № 000. Сравните значения и , если а) ..gif" width="37" height="20 src=">, то это довольно сложная работа: нам бы пришлось извлекать кубический корень из 3 и из 9, и сравнивать их. Но мы знаем, что возрастает, это в свою очередь значит, что при увеличении аргумента, увеличивается значение функции, то есть нам достаточно сравнить между собой значения аргумента и , очевидно, что (можно продемонстрировать на плакате с изображенной возрастающей показательной функцией). И всегда при решении таких примеров вначале определяете основание показательной функции, сравниваете с 1, определяете монотонность и переходите к сравнению аргументов. В случает убывания функции: при возрастания аргумента уменьшается значение функции, следовательно, знак неравенства меняем при переходе от неравенства аргументов к неравенству функций. Далее решаем устно: б)

-

В)

-

Г)

-

- № 000. Сравните числа: а) и

Следовательно, функция возрастает, тогда

Почему ?

Возрастающая функция и

Следовательно, функция убывает, тогда

Обе функции возрастают на всей своей области определения, т. к. они являются показательными с основанием степени большим единицы.

Какой смысл в ней заложен?

Строим графики:

Какая функция быстрее возрастает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Какая функция быстрее убывает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?

Г) , https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Вначале выясним область определения этих функций. Совпадают ли они?

Да, область определения этих функций все действительные числа.

Назовите область значения каждой из этих функций.

Области значений этих функций совпадают: все положительные действительные числа.

Определите тип монотонности каждой из функций.

Все три функции убывают на всей своей области определения, т. к. они являются показательными с основанием степени меньшими единицы и большими нуля.

Какая особая точка существует у графика показательной функции?

Какой смысл в ней заложен?

Какое бы не было основание степени показательной функции, если в показателе стоит 0,то значение этой функции 1.

Строим графики:

Давайте проанализируем графики. Сколько точек пересечения у графиков функций?

Какая функция быстрее убывает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Какая функция быстрее возрастает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?

На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?

Почему показательные функции с разными основаниями имеют только одну точку пересечения?

Показательные функции являются строго монотонными на всей своей области определения, поэтому они могут пересекаться только в одной точке.

Следующее задание будет направлено на использование этого свойства. № 000. Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке а) . Вспомним, что строго монотонная функция принимает свои наименьшее и наибольшее значения на концах заданного отрезка. И если функция возрастающая, то её наибольшее значение будет на правом конце отрезка, а наименьшее на левом конце отрезка (демонстрация на плакате, на примере показательной функции). Если функция убывающая, то её наибольшее значение будет на левом конце отрезка, а наименьшее на правом конце отрезка (демонстрация на плакате, на примере показательной функции). Функция возрастающая, т. к. , следовательно, наименьшее значение функции будет в точке https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29">. Пункты б) , в) г) решите самостоятельно тетради, проверку проведем устно.

Учащиеся решают задание в тетради

Убывающая функция

Убывающая функция наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке

Возрастающая функция наименьшее значение функции на отрезке наибольшее значение функции на отрезке

- № 000. Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке а) . Это задание практически такое же, как и предыдущее. Но здесь дан не отрезок, а луч. Мы знаем, что функция - возрастающая, при чем она не имеет ни наибольшего, ни наименьшего своего значения на всей числовой прямой https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height="20">, и стремится к при , т. е. на луче функция при стремится к 0, но не имеет своего наименьшего значения, но у неё существует наибольшее значение в точке . Пункты б) , в) , г) решите самостоятельно тетради, проверку проведем устно.