Площадь полной поверхности додекаэдра формула. Додекаэдр, тайна Египетского календаря, циклы Солнечной Системы и «Арифметика Вселенной». Стахов А.П

Как сделать правильный додекаэдр своими руками

Как сделать звездчатый додекаэдр

Додекаэдр

Объём додекаэдра:

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Материалы:

Главная › Закон › Площадь полной поверхности додекаэдра формула. Додекаэдр, тайна Египетского календаря, циклы Солнечной Системы и «Арифметика Вселенной». Стахов А.П

Додекаэдром называется правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Эта эффектная объемная фигура обладает центром симметрии, называемым центром додекаэдра. Кроме того, в ней присутствуют пятнадцать плоскостей симметрии (в каждой грани любая из них проходит через середину противоположного ребра и вершину) и пятнадцать осей симметрии (пересекающих середины параллельных противолежащих ребер). Каждая из вершин додекаэдра является вершиной трех пятиугольников правильной формы.

Свое название конструкция получила по количеству входящих в нее граней (традиционно древние греки давали многогранникам имена, отображающие число граней, составляющих структуру фигуры). Таким образом, понятие «додекаэдр» образовано из значений двух слов: «додека» (двенадцать) и «хедра» (грань). Фигура относится к одному из пяти Платоновых тел (наряду с тетраэдром, октаэдром, гексаэдром (кубом) и ). Интересно, что согласно многочисленным историческим документам, все они активно использовались жителями Древней Греции в виде настольных игральных костей и изготавливались из самого различного материала.

Правильные многогранники всегда привлекали людей своей красотой, органичностью и необыкновенным совершенством форм, но додекаэдр имеет особую историю, которая из года в год обрастает все новыми, иногда совершенно мистическими, фактами. Представители многих цивилизаций усматривали в нем сверхъестественную и таинственную сущность, утверждая, что: «Из числа двенадцать произрастает многое». На территориях древних разрушенных государств до сих пор находят маленькие фигурки в виде додекаэдров, выполненные из бронзы, камня или кости. Кроме того, при раскопках на землях современной Англии, Франции, Германии, Венгрии, Италии археологи обнаружили несколько сотен так называемых «римских додекаэдров», датирующихся II-III-м веками нашей эры. Основные размеры фигурок составляют от четырех до одиннадцати сантиметров, причем отличаются они самыми невероятными узорами, текстурами и техникой исполнения. Выдвинутая еще во времена Платона версия о том, что Вселенная представляет собой огромного размера додекаэдр, нашла подтверждение уже в начале XXI -го века. После тщательного анализа данных, полученных при помощи WMAP(многофункционального космического аппарата NASA), ученые согласились с предположением древнегреческих астрономов, математиков и физиков, в свое время занимавшихся вопросами изучения небесной сферы и ее строением. Более того, современные исследователи считают, что наша Вселенная представляет собой бесконечно повторяющийся набор додекаэдров.

Сегодня конструкция данной фигуры нашла свое отображение во многих вариантах художественного творчества, архитектуре и строительстве. Народные умельцы изготавливают из цветной или белой бумаги необыкновенные по красоте оригами в виде ажурных додекаэдров, а из картона делают оригинальные и прочее). В продаже можно приобрести уже готовые наборы, содержащие все необходимое для изготовления сувениров, но наиболее интересно произвести весь процесс работы своими руками, начиная от построения отдельных деталей и заканчивая сборкой готовой конструкции.

Для того, чтобы сделать правильный додекаэдр из картона, необходим собственно сам материал и подручные средства:

ножницы,
карандаш,
ластик,
линейка,
клей.

Хорошо иметь тупой нож или какое-либо приспособление для загибания припусков, но если их нет, то вполне подойдет металлическая линейка или те же ножницы.

Звездчатые додекаэдры имеют более сложную конструкцию по сравнению с обычными. Эти многогранники подразделяются на малый (первого продолжения), средний (второго продолжения) и большой (последняя звездчатая форма правильного додекаэдра). Каждый из них отличается своими особенностями построения и сборкой. Для работы Вам потребуются те же материалы и инструменты, что и для изготовления стандартного додекаэдра. Если Вы решили сделать первый вариант (малый додекаэдр), то необходимо построить чертеж первого элемента, который станет основой для всей конструкции (в дальнейшем производится ее склеивание или сборка деталей при помощи скрепок).

С большим интересом я ознакомился с книгой С.И. Сухоноса «Масштабная Гармония Вселенной», опубликованной на сайте Академии Тринитаризма, а также статьей «Арифметика Вселенной», написанной С.И. Сухоносом в соавторстве с Н.П. Третьяковым (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0223/001a/02230001.htm, http://www.trinitas.ru/rus/doc/0223/001a/02230002.htm). Имея постоянную привычку во всем искать связь с Золотым Сечением, я задался вопросом: «Имеют ли исследования Сергея Сухоноса отношение к Золотому Сечению?». После ознакомления со статьей «Арифметика Вселенной» мне показалось, что я такую связь нашел. Этому и посвящена настоящая заметка.

Числовая структура масштабной иерархии Вселенной

Начнем с ключевой математической идеи «Масштабной Гармонии Природы». Она изложена в статье «Арифметика Вселенной». Сухонос и Третьяков утверждают:

«Волна Устойчивости на масштабной оси (в случае выбора десятичных логарифмов) состоит из 12 классов по 5 порядков каждый. Весь масштабный интервал Вселенной содержит 60 порядков, если не брать во внимание «хвостик» в еще один порядок… На первый взгляд структура масштабного порядка, содержащая 12 классов по 5 порядков каждый, целиком зависит лишь от конкретной специфики масштабного устройства материи во Вселенной. Однако нетрудно заметить, что подобные же числовые пропорции распространены и в других областях. Так, например, шестидесятеричное исчисление, введенное еще древними шумерами, используется для шкалы времени: 60 минут и 60 секунд. Год разделен на 12 месяцев. Наиболее распространенный вариант циферблата часов – это 12 интервалов по 5 минут каждый. В приведенных примерах фигурируют все те же цифры: 60, 12, 5. В связи с этим встает вопрос: случайно ли такое совпадение или за ним стоит некоторая глубинная общность числовой структуры 12 х 5 = 60?»

В дополнение к вопросам, поставленным в этой цитате из статьи «Арифметика Вселенной», можно задать еще несколько «детских» вопросов. Почему Египетский календарный год имел следующую числовую структуру: 1 год = 360 дней = 12х 30? Почему имеется ровно 12 знаков Зодиака? Почему 1 день = 24 часа = 2х 12? Почему 1 час = 60 минутам, а 1 минута = 60 секундам? Почему 360 град. = 12х 30 град.? Почему 1 град. = 60 угловых минут?

Платоновы тела

Издавна ученые интересовались идеальными или правильными геометрическими фигурами, в частности правильными многоугольниками и многогранниками. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд, ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так.

В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Теории многогранников посвящено много книг. Одной из наиболее известных является книга английского математика М. Венниджера «Модели многогранников». В русском переводе эта книга опубликована издательством «Мир» в 1974 г. Эпиграфом к книге выбрано высказывание Бертрана Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства» .

Книга начинается с описания так называемых правильных многогранников, то есть многогранников, образованных простейшими правильными многоугольниками одного типа. Эти многогранники принято называть Платоновыми телами, названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал правильные многогранники в своей космологии. Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники. Первый из них – это тетраэдр (см. Рис.1). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

Рис. 1. Платоновы тела: тетраэдр («Огонь»), гексаэдр или куб («Земля»), октаэдр («Воздух»), икосаэдр («Вода»), додекаэдр («Вселенский разум»)

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (см. Рис.1). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр. Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр (см. Рис.1).

Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (см. Рис.1).

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (см. Рис.1).

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше пятиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками (см. Рис. 1). Так, например, куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен - ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Числовые характеристики Платоновых тел

Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является: число сторон грани m , число граней n , сходящихся в каждой вершине, число граней Г , число вершин В , число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника. Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу

В — Р + Г = 2 ,

связывающую числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника. Указанные выше числовые характеристики приведены в Табл.1.

Таблица 1. Числовые характеристики Платоновых тел

Золотая пропорция в додекаэдре и икосаэдре

Додекаэдр и двойственный ему икосаэдр (см. Рис. 1) занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией.

Действительно, гранями додекаэдра (см. Рис.1) являются пентагоны, т.е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр (см. Рис.1), то можно увидеть, что в каждой его вершине сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотая пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

Но существуют более глубокие математические подтверждения фундаментальной роли, которую играет золотая пропорция в икосаэдре и додекаэдре. Известно, что эти тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через Ri. Вторая или средняя сфера касается ее ребер. Обозначим радиус этой сферы через Rm . Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через Rc . В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра, имеющего ребро единичной длины, выражается через золотую пропорцию t (Табл. 2).

Таблица 2. Золотая пропорция в сферах додекаэдра и икосаэдра

	*R c*	*R m*	R i
Икосаэдр
Додекаэдр

Заметим, что отношение радиусов одинаково, как для икосаэдра, так и для додекаэдра.

Таким образом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Доказательство этого математического результата дано в Началах Евклида.

В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с золотой пропорцией. Например, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они выражаются через золотую пропорцию (Табл.3).

Таблица 3. Золотая пропорция во внешней площади и объеме додекаэдра и икосаэдра

	Икосаэдр	Додекаэдр
Внешняя площадь

Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой «додекаэдро-икосаэдрической доктрины» , которую мы рассмотрим ниже.

Космология Платона

Рассмотренные выше правильные многогранники получили название Платоновых тел, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве Мироздания.

Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр - Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб - Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр - Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал все Мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания.

Гармоничные отношения древние греки считали основой Мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь . Атомы «стихий» настраивались в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомним, что консонансом называется приятное созвучие.

В связи с этими телами уместно будет сказать, что такая система элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями Мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их, с известными нам четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Таким образом, представление о «сквозной» гармонии бытия древние греки связывали с ее воплощением в Платоновых телах. Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона сказалось и на Началах Евклида. В этой книге, которая на протяжении веков была единственным учебником геометрии, дано описание «идеальных» линий и «идеальных» фигур. Самая «идеальная» линия – прямая, а самый «идеальный» многоугольник – правильный многоугольник, имеющий равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником является равносторонний треугольник. Интересно, что Начала Евклида начинаются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти Платоновых тел. Заметим, что Платоновым телам посвящена заключительная, то есть, 13-я книга Начал Евклида. Кстати, этот факт, то есть размещение теории правильных многогранников в заключительной (то есть как бы самой главной) книге Начал Евклида, дало основание древнегреческому математику Проклу, который был комментатором Евклида, выдвинуть интересную гипотезу об истинных целях, которые преследовал Евклид, создавая свои Начала. Согласно Проклу, Евклид создавал Начала не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения «идеальных» фигур, в частности пяти Платоновых тел, попутно осветив некоторые новейшие достижения математики!

Не случайно, что один из авторов открытия фуллеренов, Нобелевский лауреат Гарольд Крото в свой Нобелевской лекции начинает свой рассказ о симметрии как «основе нашего восприятия физического мира» и ее «роли в попытках его всестороннего объяснения» именно с Платоновых тел как «элементов всего сущего»: «Понятие структурной симметрии восходит к античной древности… Наиболее известные примеры можно, конечно, обнаружить в диалоге «Тимей» Платона, где в разделе 53, относящемся к «Элементам», он пишет: «Во-первых, каждому (!), разумеется, ясно, что огонь и земля, вода и воздух суть тела, а всякое тело - сплошное» (!!) Платон обсуждает проблемы химии на языке этих четырех элементов и связывает их с четырьмя Платоновыми телами (в то время только четырьмя, пока Гиппарх не открыл пятый - додекаэдр). Хотя на первый взгляд такая философия может показаться несколько наивной, она указывает на глубокое понимание того, каким образом в действительности функционирует Природа» .

Что такое календарь?

Русская пословица гласит: «Время – око истории». Все, что существует во Вселенной: Солнце, Земля, звезды, планеты, известные и неизвестные миры, и все, что есть в природе живого и неживого, все имеет пространственно-временное измерение. Время измеряется путем наблюдения периодически повторяющихся процессов определенной длительности.

В основу измерения времени астрономия положила движение небесных тел, которое отражает три фактора: вращение Земли вокруг своей оси, обращение Луны вокруг Земли и движение Земли вокруг Солнца. От того, на каком из этих явлений основывается измерение времени, зависят и разные понятия времени. Астрономия знает звездное время, солнечное время, местное время, поясное время, декретное время, атомное время и т.д.

Солнце, как и все остальные светила, участвует в движении по небосводу. Кроме суточного движения, Солнце обладает так называемым годичным движением, а весь путь годичного движения Солнца по небосводу называется эклиптикой. Если, например, заметить расположение созвездий в какой-нибудь определенный вечерний час, а затем повторять это наблюдение через каждый месяц, то перед нами предстанет иная картина неба. Вид звездного неба изменяется непрерывно: каждому времени года свойственна своя картина вечерних созвездий и каждая такая картина через год повторяется. Следовательно, по истечении года Солнце относительно звезд возвращается на прежнее место.

Для удобства ориентировки в звездном мире астрономы разделили весь небосвод на 88 созвездий. Каждое из них имеет свое наименование. Из 88 созвездий особое место в астрономии занимают те, через которые проходит эклиптика. Эти созвездия, кроме собственных имен, имеют еще обобщенное название – зодиакальные (от греческого слова «zoop» - животное). Они представляют собой широко известные во всем мире символы (знаки) и аллегорические изображения, вошедшие в календарные системы.

Известно, что в процессе перемещения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий. Однако астрономы сочли нужным разделить путь Солнца не на 13, а на 12 частей, объединив созвездия Скорпион и Змееносец в единое - под общим названием Скорпион (почему?).

Проблемами измерения времени занимается специальная наука, называемая хронологией. Она лежит в основе всех календарных систем, созданных человечеством. Создание календарей в древности являлось одной из важнейших задач астрономии.

Что же такое «календарь» и какие существуют системы календарей? Слово календарь происходит от латинского слова calendarium, что буквально означает «долговая книга»; в таких книгах указывались первые дни каждого месяца –календы, в которые в Древнем Риме должники платили проценты.

С древнейших времен в странах Восточной и Юго-Восточной Азии при составлении календарей большое значение придавали периодичности движения Солнца, Луны, а также Юпитера и Сатурна, двух гигантских планет Солнечной системы. Есть основание предполагать, что идея создания юпитерианского календаря с небесной символикой 12-летнего животного цикла связана с вращением Юпитера вокруг Солнца, который делает полный оборот вокруг Солнца примерно за 12 лет (11,862 года). С другой стороны вторая гигантская планета Солнечной системы – Сатурн делает полный оборот вокруг Солнца примерно за 30 лет (29, 458 года). Желая согласовать циклы движения гигантских планет, древние китайцы пришли к идее введения 60-летнего цикла Солнечной системы. В течение этого цикла Сатурн делает 2 полных обороты вокруг Солнца, а Юпитер - 5 оборотов.

При создании годичных календарей используются астрономические явления: смена дня и ночи, изменение лунных фаз и смена времен года. Использование различных астрономических явлений привело к созданию у различных народов трех типов календарей: лунные, основанные на движении Луны, солнечные, основанные на движении Солнца, и лунно-солнечные.

Структура египетского календаря

Одним из первых солнечных календарей был египетский, созданный в 4-м тысячелетии до н.э. Первоначально египетский календарный год состоял из 360 дней. Год делился на 12 месяцев ровно по 30 дней в каждом. Однако позже было обнаружено, что такая длительность календарного года не соответствует астрономическому. И тогда египтяне добавили к календарному году «хвостик» из 5 дней, которые, однако, не входили в состав месяцев. Это были 5 праздничных дней, соединявших соседние календарные годы. Таким образом, египетский календарный год имел следующую числовую структуру: 365 = 12х 30 + 5 . Заметим, что именно египетский календарь является прообразом современного календаря.

Возникает вопрос: почему египтяне разделили календарный год на 12 месяцев? Ведь существовали календари с другим количеством месяцев в году. Например, в календаре майя год состоял из 18 месяцев по 20 дней в месяце. Следующий вопрос, касающийся египетского календаря: почему каждый месяц имел ровно 30 дней (точнее суток)? Можно поставить некоторые вопросы и по поводу египетской системы измерения времени, в частности по поводу выбора таких единиц времени, как час, минута, секунда. В частности, возникает вопрос: почему единица часа была выбрана таким образом, чтобы она ровно 24 раза укладывалась в сутки, то есть, почему 1 сутки = 24 (2х 12) часа? Далее: почему 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд? Эти же вопросы относятся и к выбору единиц угловых величин, в частности: почему окружность разбита на 360 град., то есть, почему 2пи =360 град. =12х 30 град. ? К этим вопросам добавляются и другие, в частности: почему астрономы признали целесообразным считать, что существует 12 зодиакальных знаков, хотя на самом деле в процессе своего движения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий? И еще один «странный» вопрос: почему вавилонская система счисления имела весьма необычное основание – число 60?

Связь египетского календаря с числовыми характеристиками додекаэдра

Анализируя египетский календарь, а также египетские системы измерения времени и угловых величин, мы обнаруживаем, что в них с удивительным постоянством повторяются четыре числа: 12, 30, 60 и производное от них число 360 = 12х 30. Возникает вопрос: не существует ли какой-то фундаментальной научной идеи, которая могла бы дать простое и логичное объяснение использованию этих чисел в египетских системах?

Для ответа на это вопрос еще раз обратимся к додекаэдру, изображенному на Рис.1 Напомним, что все геометрические соотношения додекаэдра основаны на золотой пропорции.

Знали ли египтяне додекаэдр? Историки математики признают, что древние египтяне обладали сведениями о правильных многогранниках. Но знали ли они все пять правильных многогранников, в частности додекаэдр и икосаэдр, как наиболее сложные из них? Древнегреческий математик Прокл приписывает построение правильных многогранников Пифагору. Но ведь многие математические теоремы и результаты (в частности Теорему Пифагора) Пифагор позаимствовал у древних египтян в период своей весьма длительной «командировки» в Египет (по некоторым сведениям Пифагор прожил в Египте в течение 22 лет!). Поэтому мы можем предположить, что знание о правильных многогранниках Пифагор, возможно, также позаимствовал у древних египтян (а возможно, у древних вавилонян, потому что согласно легенде Пифагор прожил в древнем Вавилоне 12 лет). Но существуют и другие, более веские доказательства того, что египтяне владели информацией о всех пяти правильных многогранниках. В частности, в Британском Музее хранится игральная кость эпохи Птоломеев, имеющая форму икосаэдра, то есть «Платонового тела», дуального додекаэдру. Все эти факты дают нам право выдвинуть гипотезу о том, что египтянам был известен додекаэдр. И если это так, то из этой гипотезы вытекает весьма стройная система, позволяющая дать объяснение происхождению египетского календаря, а заодно и происхождению египетской системы измерения временных интервалов и геометрических углов.

Гармония циклов Солнечной Системы

Ранее мы установили, что додекаэдр имеет 12 граней (петагонов), 30 ребер и 60 плоских углов на своей поверхности (Табл.1). Если исходить из гипотезы, что египтяне знали додекаэдр и его числовые характеристики 5, 12, 30. 60 , то, каково же было их удивление, когда они обнаружили, что этими же числами выражаются циклы Солнечной системы, а именно, 12-летний цикл Юпитера, 30-летний цикл Сатурна и, наконец, 60-летний цикл Солнечной системы. При этом главный цикл Солнечной системы и цикл Юпитера связаны следующим числовым соотношением: 60 = 12х 5 (которое, кстати, совпадает с числовой структурой масштабной иерархии Вселенной!). Таким образом, между такой совершенной пространственной фигурой, как додекаэдр, и Солнечной системой, существует глубокая математическая связь! Такой вывод сделали античные ученые. Это и привело к тому, что додекаэдр был принят в качестве «главной фигуры», которая символизировала Гармонию Мироздания . И тогда египтяне решили, что все их главные системы (календарная система, система измерения времени, система измерения углов) должны соответствовать числовым параметрам додекаэдра! Поскольку по представлению древних движение Солнца по эклиптике имело строго круговой характер, то, выбрав 12 знаков Зодиака, дуговое расстояние между которыми равнялось ровно 30 град., египтяне удивительно красиво согласовали годичное движение Солнца по эклиптике со структурой своего календарного года: один месяц соответствовал перемещению Солнца по эклиптике между двумя соседними знаками Зодиака! Более того, перемещение Солнца на один градус соответствовало одному дню в египетском календарном году! При этом эклиптика автоматически получалась разделенной на 360 град. Разделив каждые сутки на две части, следуя додекаэдру, египтяне затем каждую половину суток разделили на 12 частей (12 граней додекаэдра) и тем самым ввели час – важнейшую единицу времени. Разделив один час на 60 минут (60 плоских углов на поверхности додекаэдра), египтяне таким путем ввели минуту – следующую важную единицу времени. Точно также они ввели секунду – наиболее мелкую на тот период единицу времени.

Таким образом, выбрав додекаэдр в качестве главной «гармонической» фигуры мироздания, и строго следуя числовым характеристикам додекаэдра 12, 30, 60, египтянам удалось построить чрезвычайно стройный календарь, а также системы измерения времени и угловых величин, которые существуют до настоящего времени! Эти системы полностью согласовывалась с их «Теорией Гармонии», которая, по некоторым сведениям, существовала у древних египтян. Эта теория была основана на золотой пропорции и возникла задолго до возникновения греческой науки и математики.

Вот такие удивительные выводы вытекают из сопоставления додекаэдра с Солнечной системой. И если наша гипотеза правильна (пусть кто-нибудь попытается ее опровергнуть), то отсюда следует, что вот уже много тысячелетий человечество живет под знаком золотого сечения! И каждый раз, когда мы смотрим на циферблат наших часов, который также построен на использовании числовых характеристик додекаэдра 5,12, 30 и 60, мы прикасаемся к главной «Тайне Мироздания» - золотому сечению, сами того не подозревая!

О календаре и системе счисления майя

Известно, что календарный год в календаре майя имел следующую числовую структуру: 1 год = 360 + 5 = 20х 18 + 5 дней, откуда вытекает, что год майя разделили на 18 месяцев по 20 дней в каждом. Числа 20 и 360 были использованы майя в качестве «узловых» чисел своей системы счисления. Однако по своей структуре календарный год майя был подобен структуре египетского календарного года: 1 год = 360 + 5 = 12х 30 + 5 дней, в котором числа 12 и 30 были числами додекаэдра. Но что такое число 20 в календаре майя? Обратимся снова к икосаэдру и додекаэдру. В этих «сакральных» фигурах имеется еще одна «священная» числовая характеристика – число вершин, которое одно и то же для додекаэдра и икосаэдра и равно числу 20! Таким образом, древние майя, несомненно, использовали эту числовую характеристику додекаэдра и икосаэдра в своем календаре (разделив год на 20 месяцев) и в своей системе счисления (выбрав числа 20 и 360 в качестве «узловых» чисел своей системы счисления).

Додекаэдро-икосаэдрическая доктрина

Согласно замечанию комментатора последнего издания сочинений Платона, у него «вся космическая пропорциональность покоится на принципе золотого деления, или гармонической пропорции». Как упоминалось, космология Платона основывается на правильных многогранниках, называемых телами Платона. Представление о «сквозной» гармонии мироздания неизменно ассоциировалось с ее воплощением в этих пяти правильных многогранниках, выражавших идею повсеместного совершенства мира. И то, что главная «космическая» фигура - додекаэдр, символизировавший тело мира и вселенской души, был основан на золотом сечении, придавало последнему особый смысл, смысл главной пропорции мироздания .

Космология Платона стала основой, так называемой икосаэдро-додекаэдрической доктрины , которая с тех пор красной нитью проходит через всю человеческую науку. Суть этой доктрины состоит в том, что додекаэдр и икосаэдр есть типичные формы природы во всех ее проявлениях, начиная с космоса и заканчивая микромиром.

Вопрос о форме Земли постоянно занимал умы ученых античных времен. И когда гипотеза о шарообразной форме Земли получила подтверждение, возникла идея о том, что по своей форме Земля представляет собой додекаэдр. Так, уже Сократ писал: «Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи».

Эта гипотеза Сократа нашла дальнейшее научное развитие в трудах физиков, математиков и геологов. Так, французский геолог де Бимон и известный математик Пуанкаре считали, что форма Земли представляет собой деформированный додекаэдр.

Российский геолог С. Кислицин, также разделял мнение о додекаэдрической форме Земли. Он высказал гипотезу о том, что 400-500 млн. лет назад геосфера додекаэдрической формы превратилась в гео-икосаэдр. Однако такой переход оказался неполным и незавершенным, в результате чего гео-додекаэдр оказался вписанным в структуру икосаэдра.

Недавно московские инженеры В. Макаров и В. Морозов выдвинули еще одну интересную гипотезу, касающуюся формы Земли. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины ребер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления.

В последние годы гипотеза об икосаэдро-додекаэдрической форме Земли была подвергнута проверке. Для этого ученые совместили ось додекаэдра с осью глобуса и, вращая вокруг нее этот многогранник, обратили внимание на то, что его ребра совпадают с гигантскими нарушениями земной коры (например, с Срединно-Атлантическим подводным хребтом). Взяв затем икосаэдр в качестве многогранника, они установили, что его ребра совпадают с более мелкими членениями земной коры (хребты, разломы и т.д.). Эти наблюдения подтверждают гипотезу о близости тектонического строения земной коры с формами додекаэдра и икосаэдра. Узлы гипотетического гео-кристалла являются как бы центрами определенных аномалий на планете: в них расположены все мировые центры экстремального атмосферного давления, районы зарождения ураганов; в одном из узлов икосаэдра (в Габоне) обнаружен «природный атомный реактор», еще работавший 1,7 млрд. лет назад. Ко многим узлам многогранников приурочены гигантские месторождения полезных ископаемых (например, Тюменское месторождение нефти), аномалии животного мира (оз. Байкал), центры развития культур человечества (Древний Египет, протоиндийская цивилизация Мохенджо-Даро, Северная Монгольская и т.п.). Все эти примеры подтверждают удивительную прозорливость интуиции Сократа.

Квинтэссенцией геометрических представлений о всем сущем стали работы американского исследователя Д. Винтера, возглавляющего группу «Планетарные сердцебиения». Он является проповедником идеала формы, унитарного «золотого сечения», которое подобно «золотой цепи» соединяют ген и Вселенную.

Принимая концепцию икосаэдрически-додекаэдрической формы Земли, Винтер развивает ее дальше. Он обращает внимание на то, что угол, описываемый осью вращения Земли в ходе ее прецессии за 26 000 лет, составляет 23 град. Это в точности равно тому углу, под которым можно наклонить куб, чтобы, вращая его затем вокруг оси (с пятью остановками), получить додекаэдр. По мнению Винтера, энергетический каркас Земли представляет собой додекаэдр, вставленный в икосаэдр, который, в свою очередь, вставлен во второй додекаэдр. Геометрические отношения между указанными многогранниками представляет собой золотое сечение.

Додекаэдрическая структура, по мнению Винтера, присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. И самое, пожалуй, главное, что структура ДНК генетического кода жизни представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная – от Метагалактики и до живой клетки – построена по одному принципу – бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения!

Роль икосаэдра в развитии математики

Имя выдающегося геометра Феликса Клейна широко известно в науке. Основные работы Клейна посвящены неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебраических уравнений, теории эллиптических функций, теории автоморфных функций. Свои идеи в области геометрии Клейн изложил в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (1872), известной под названием Эрлангенская программа. Кроме Эрлангенской программы и других выдающихся математических достижений, гениальность Феликса Клейна проявилась также в том, что 100 лет назад он сумел предсказать выдающуюся роль Платоновых тел, в частности, икосаэдра, в будущем развитии науки, в частности, математики. В 1884 г. (запомним этот год) Феликс Клейн опубликовал еще одну книгу «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени», посвященную геометрической теории икосаэдра.

Как известно, икосаэдр (а вместе с ним двойственный к нему додекаэдр) занимают особое место в «живой» природе; форму икосаэдра имеют некоторые вирусы и радиолярии, то есть, икосаэдральная форма и пентагональная симметрия являются фундаментальными в организации живого вещества.

В первой части книги определено и объяснено место икосаэдра в математике. Согласно Ф. Клейну, ткань математики широко и свободно разбегается листами отдельных теорий. Но есть объекты, в которых сходятся несколько листов, - своеобразные точки ветвления. Их геометрия связывает листы и позволяет охватить общематематический смысл разных теорий. Именно таким математическим объектом, по мнению Клейна, является икосаэдр. Клейн трактует икосаэдр как математический объект, из которого расходятся ветви пяти математических теорий: геометрия, теория Галуа, теория групп, теория инвариантов и дифференциальные уравнения .

Таким образом, главная идея Клейна чрезвычайно проста: «каждый уникальный геометрический объект, так или иначе, связан со свойствами икосаэдра» .

В чем же состоит значение идей выдающегося математика с точки зрения теории гармонии? Прежде всего, в качестве объекта, объединяющего «главные листы» математики выбрано «тело Платона» - икосаэдр, основанный на золотом сечении. Отсюда естественным образом вытекает мысль, что именно Золотое Сечение и является той главной геометрической идеей, которая, согласно Клейну, может объединить всю математику.

Современники Клейна не сумели по достоинству понять и оценить революционный характер «икосаэдрической» идеи Клейна. Ее значение было понято ровно через 100 лет, то есть только в 1984 г., когда израильский физик Дан Шехтман опубликовал заметку, подтверждающую существование специальных сплавов (названных квазикристаллами), обладающих так называемой «икосаэдрической» симметрией, то есть симметрией 5-го порядка, что строго запрещено классической кристаллографией.

Таким образом, еще в 19-м веке гениальная интуиция Феликса Клейна привела его к мысли о том, что одна из древнейших геометрических фигур – икосаэдр – является главной геометрической фигурой математики. Тем самым Клейн в 19 в. вдохнул новую жизнь в развитие «додекаэдро-икосаэдрического представления» о структуре Вселенной, приверженцами которого были великие ученые и философы: Платон, построивший свою космологию на основе правильных многогранников, Евклид, посвятивший свои «Начала» изложению теории Платоновых тел, Иоганн Кеплер, использовавший Платоновы тела при создании своего Космического кубка, весьма оригинальной геометрической модели Солнечной системы.

Заключение

Снова обращаясь к «Масштабной Гармонии Вселенной» (Сухонос С.И) и «Арифметике Вселенной» (Сухонос С.И. и Третьяков Н.П.), мы можем констатировать, что гипотеза о том, что Вселенная имеет числовую структуру 60=12х 5, имеет глубокие исторические и научные корни и восходит к Космологии Платона и Платоновым телам, в частности, додекаэдру, главному Платоновому телу, который выражал в космологии Платона Гармонию Мироздания. А поскольку главной пропорцией додекаэдра является Золотое Сечение, то отсюда вытекает, что «Числовая структура масштабной иерархии Вселенной» 60=12х 5 непосредственно связаны с Золотым Сечением через додекаэдр и его главные числовые характеристики 5, 12 и 60!

Стахов А.П. Додекаэдр, тайна Египетского календаря, циклы Солнечной Системы и «Арифметика Вселенной» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13065, 10.03.2006 г.

Древние мудрецы говорили: "Чтобы познать невидимое, смотри внимательно на видимое". В плане сакральных сил додекаэдр самый мощный многогранник. Не зря Сальвадор Дали для своей "Тайной вечере" выбрал эту фигуру. В ней от двенадацати пятиугольников - тоже сильной фигуре, силы концентрируются в одной точке - на Иисусе Христе.

Название “додекаэдр” происходит от греческих слов δωδεχα (додека) - “двенадцать” и έδρα (эдра) - “основание”. Додекаэдр это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Впервые додекаэдр построил древнегреческий учёный Теэтет (4 век до н.э.).

Додекаэдр имеет 12 граней - пятиугольники, 30 рёбер и 20 вершин, в каждой из них сходится 3 ребра. Каждая вершина является вершиной 3 пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 0 .

Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер. Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

а - длина ребра додекаэдра.

Площадь поверхности додекаэдра :

Многогранник

Число сторон грани, m

Число граней, сходящихся в вершине, n

Число граней

Число вершин

Число ребер

Число плоских углов на поверхности

Гексаэдр (куб)

Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, простейших микроорганизмов.

Кристаллы - тела, имеющие многогранную форму. Вот один из примеров таких тел: кристалл пирита (сернистый колчедан FeS) - природная модель додекаэдра.

Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов.

В алхимии обычно говорится только об этих элементах: огонь, земля, воздух и вода; редко упоминается эфир,потому что это настолько священно. В Пифагорейской школе, стоило бы вам только лишь упомянуть за стенами школы слово «додекаэдр», как вас убили бы на месте. Настолько священной считалась эта фигура. О ней даже не говорили. Спустя двести лет, при жизни Платона, о ней говорили, но только очень осторожно. Почему? Потому, что додекаэдр расположен у внешнего края вашего энергетического поля и является высшей формой сознания. Когда вы достигаете 55-футового предела своего энергетического поля, то оно будет иметь форму сферы. Но самая близкая к сфере внутренняя фигура – это додекаэдр (в действительности, додекаэдро-икосаэдральная взаимосвязь).

Вдобавок к этому, мы живём внутри большого додекаэдра, который содержит в себе вселенную. Когда ваш ум достигает предела пространства космоса – а предел тут есть – то он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере. Додекаэдр есть завершающая фигура геометрии и она очень важна.

Штайнер составил несколько моделей Вселенной и решил проверить, как в них формируются волны плотности микроволнового фона. Физик уверяет, что наибольшее совпадение с наблюдающимся реликтовым излучением дает Вселенная-"бублик". Он смог даже посчитал его диаметр – 56 миллиардов световых лет в поперечнике.

Комментаторы гипотезы Штайнера высказались, что она не доказывает полностью, что Вселенная – это "многомерный бублик", но лишь свидетельствует, что такая форма – одна из возможных. Тем не менее, кто-то из физиков все еще убежден, что додекаэдр – "убедительный кандидат".

На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру.
Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК.
В основе структуры ДНК лежит священная геометрия, хотя, могут обнаружиться ещё и другие скрытые взаимосвязи.
В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.

Додекаэдр и двойственный ему икосаэдр занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра (Рис.1-д) являются пентагоны, т.е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции.

Существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой «додекаэдро-икосаэдрической доктрины»

А теперь взгляните да додекаэдр и осознайте, что число 5 формирует КРИСТАЛЛ СИЛЫ.

И ПОКА ТАКОЙ КРИСТАЛЛ СУЩЕСТВУЕТ-СУЩЕСТВУЕТ ЖИЗНЬ (И ДВИЖЕНИЕ), ПОРОЖДАЮЩЕЕ ЕДИНОЕ САМОСОГЛАСОВАННОЕ ТОРСИОННОЕ ПОЛЕ НА ВСЕХ УРОВНЯХ ИЕРАРХИИ.

Таково апокрифическое, то есть тайное предание, где за прекрасными образами сокрыта великая истина… Знак Мощи Матери Мира - сияющий спиральный Додекаэдр. Какая сила заключена в нём? Ведь «каждая сила в природе есть следствие воли, представляющей бо́льшую или меньшую степень своей объективности» . Ясно, что это - красивая объёмная геометрическая фигура, состоящая из двенадцати правильных пятиугольников (рис. 1). Но чтобы понять и вместить её мощь и величие, обратимся к эзотерическим источникам, которые помогут приблизиться к истине, сокрытой в этой фигуре и составляющих её числах 12 и 5.

«Гармония и математическая уравновешенность двойной эволюции - духовной и физической - могут быть объединены только универсальными числами Пифагора… из мистической связи каждого числа со всем, что может постичь человеческий ум» .

«В Книге Дзиан, как и в Каббале, имеются два вида чисел для изучения - Цифры, часто простые завесы, и Священные Числа, значение которых известно эзотерикам через посвящение. Первые есть лишь условные глифы; последние являются основными символами всего… И те и другие стоят по отношению друг к другу как Материя к Духу - крайние полюсы Единой Сущности. Как говорит где-то Бальзак, бессознательный эзотерик литературы, Число есть Сущность и в то же время Дыхание, исходящее от того, что он называл Богом и что мы называем ВСЕМ. Дыхание, которое одно могло образовать физический Космос, где ничто не обретает свою форму иначе, как только из Божества, которое есть следствие Числа» .

«Платон ясно высказал, что всё видимое было создано и эволюционировано из невидимой и вечной ВОЛИ и по её образу. “Наши небеса, - говорит он, - были сотворены по извечному образу Идеального Мира, содержащемуся, как и всё, в двенадцатиугольнике - геометрической модели, используемой божеством”» .

Е.П.Блаватская в своих трудах «Разоблачённая Изида» и «Тайная Доктрина» неоднократно пишет о том, что именно додекаэдр является основной формой Мысли-Воли для создания нашей Вселенной. В «Теософском словаре» она снова подтверждает, что «Вселенная построена “перворождёнными” на основе геометрической фигуры Додекаэдр» .

В посвятительных храмах учили, что Вселенная Духа и Материи есть лишь конкретное Изображение Идеальной Абстракции; она была создана по образцу Первой Божественной Мысли.

Наша Вселенная существовала в потенциальном состоянии от Вечности. Душа, оживотворяющая эту чисто духовную Вселенную, есть Центральное Солнце, само по себе Высочайшее Божество. На Дальних Мирах, как известно из Агни Йоги, Мужское и Женское Начала, Дух и Душа едины. Они объединены на основе Огненного Права. Такое единение на Земле совершили пока только Матерь Агни Йоги и Великий Учитель: «Мориа - дух, Урусвати - душа» (21.12.22). Они стали для нас символом Огненного Двуединства Солнечных Иерархий. Именно такое вмещение единства двух Начал содержалось и в учении Пифагора о числах, когда он рассматривал цифру 12, одну из составляющих додекаэдр. Число это называлось «нечётно-чётным, в равной степени сохраняющим мужеподобность и женственность». Воплощением этого числа в Древней Греции была богиня Анесидора [Афинское андрогинное божество], которую почитали афиняне. Её статуя была совершенно женоподобна, но ей добавляли бороду как символическое выражение мужественности . Символ андрогина есть выражение единства в духе. Поиски такого слияния будут ключевой вибрацией Шестой Расы: «Принцип огня даёт направление всем новым Космическим течениям. Потому, как ключ к Шестой Расе, проявлено будет утверждение слияния. Токи, заложенные в основании жизни, предназначают течение новое. Так Мы утверждаем это великое направление… Так Мы строим великую чудесную ступень мировой жизни» .

Число 12 как одно из составляющих додекаэдр - особенное. В «Тайной Доктрине» упоминается о том, что «12 великих преображений Духа в Материю есть 12 000 Божественных лет… Начиная с метафизической и сверхчеловеческой… они оканчиваются в физической и чисто человеческой природах Космоса и человека» . Халдеи же сокрыли это знание под особым почитанием 12 часов.

На таинство числа 12 издавна указывает множество явлений из разных областей жизни: часы дня и ночи, подвиги Геракла, музы Аполлона, принципы рассудка (по Канту), категории философии (Гегель), храм Соломона делился на 12 частей; В Апокалипсисе Иоанна г. Иерусалим, сходящий с неба, имеет 12 ворот; в кумранской общине было 12 старейшин; 12 имамов - духовных и политических преемников - было у пророка Мухаммеда; 12 рыцарей Круглого стола, 12 пэров Франции , традиционно в суде участвуют 12 присяжных; 12 тысяч лет назад полярная ось Земли указывала на звезду Вегу.

Нельзя не вспомнить 12 апостолов Иисуса Христа, отразивших в себе символизм 12 знаков Зодиака, огненного кольца Высших Миров. Е.И.Рерих писала: «Если бы люди могли осознать, что История человечества записана в звёздных рунах! Великие Облики, вернее, Величайшие, связаны с Созвездиями и Солнцем, и история Их есть история этих Светил» . В Древней Индии учили, что каждая звезда является самостоятельной планетой, которая, подобно нашей Земле, имеет собственную душу, причём каждый атом материи насыщен эманацией Мировой Души. Она [звезда, планета] дышит и живёт, она чувствует, страдает и радуется жизни по-своему.

В предисловии к «Книге Золотых Правил» Е.П.Блаватская говорит об одном из способов составления алфавита: «…Двенадцать знаков Зодиака, повторенных пять раз элементами и семью цветами радуги, образуют полный алфавит, состоящий из 60 букв и 12 знаков». То есть где-то существует алфавит-додекаэдр!

Календарь Калачакры, имея в своём основании 60-летний цикл, 12-летние периоды и 5 стихий, в развёртке приобретает свойства и вид додекаэдра. Додекаэдр Калачакры отражает эволюцию микрокосма в макрокосме, становление совершенного человека, прохождение духа через «колесо времени» в его неуклонном стремлении вырваться из его тисков, обретя равновесие Архата. По преданию, которое передаётся от Учителя к ученику, Учитель из Шамбалы доставил календарь Калачакры в Тибет в Х веке.

Принимая всё это во внимание, мы начинаем глубже понимать Мощь Её Знака, вникая в смысл Священного Числа 12.

Влиянием 12 знаков Зодиака на человека занимается наука астрология. Думается, в наше время практически каждый имеет какие-то знания об их свойствах, хотя бы о своём знаке рождения. А как воздействуют пять стихий или элементов, проявляющихся в каждом знаке, и что это такое? Прежде всего они являются силами Матери Мира, а «Сила, по утверждению Мудрецов Востока, - это переход одного состояния субстанции или энергии в другое, переход, результаты которого будут видны на планах действия, отличных от того, на котором произведена и реализована инициирующая энергия» . Значит, энергия пяти элементов помогает нам изменяться, совершенствоваться.

Пять элементов в единстве образуют пентагон, или пятигранник, одну из составляющих додекаэдр Матери Мира. Платон, последователь Пифагора, считал додекаэдр самым правильным из многогранников, так как грани его - правильные пятиугольники - сотканы из золотых пропорций. По Пифагору, именно в пятиугольных формах [пятиконечная звезда, или пентакль, и пентагон] заложены золотые логарифмические пропорции или священная золотая спираль - основа сокровенных глубинных соответствий эволюции жизни в Космосе, символ движения, развития и развёртывания Вселенной. Известно, что пятиричность проявлена во всей живой природе Земли (морские звёзды, цветы, пять пальцев руки, пять оконечностей тела и т.д.).

Золотая пропорция заложена в постройках давних времён: гробница фараона Менеса (ок. 3050 г. до н.э.), пирамида Хеопса (ок. 2600 г. до н.э.), рельеф фараона Рамзеса из храма в Абидосе (ок. 1300 г. до н.э.). С древних времён пентаграмма являлась знаком-оберегом, символом богини Иштар и загробного мира, власти (на царских печатях), интеллектуального всемогущества (у гностиков) и т.д. С древних же времён известны цветные изображения пентаграммы, датируемые 3500 годом до н.э. Пятиконечные звёзды символизировали траекторию планеты Венера.

В астрономии пентаграмма Венеры - это вид траектории, которую проходит Венера при наблюдении её с Земли. Она находится в орбитальном резонансе с Землёю примерно 13:8 (8 оборотов Земли вокруг Солнца за 13 оборотов Венеры), или один её оборот по орбите происходит примерно за 8/13 земного года - число, близкое к золотому сечению. Во время своего 8-летнего цикла Венера 13 раз подходит близко к Земле, делает петлю и снова отходит, каждый раз уходя на три интервала, или 144 градуса, вперёд, как бы вырисовывая в пространстве один лепесток пятилепесткового цветка. За 8 лет она создаёт полный правильный пентакль с кольцами (петлями) на концах, причём каждый последующий «пятилепестковый цветок» смещён относительно предыдущего на несколько градусов, поэтому эту сложную пентаграмму Венеры называют «розой Венеры» (рис. 2).

Рис. 2. Роза Венеры

Пифагор называл Венеру Sol alter (лат. ) - другое Солнце. По эзотерической доктрине эта Планета является Главою нашей Земли и её духовным прообразом… Носителем Света нашей Земли как в философском, так и в мистическом смысле . Н.К.Рерих называет эту звезду «светлой обителью Матери Мира», и в течение жизни нашей планеты Матерь Мира постоянно создаёт в пространстве вокруг Земли светло сияющий высоковибрационный духовный покров для планеты . «Каждая нить Матери Мира проходит сверху донизу и наоборот» (05.06.24). В своих записях Е.И.Рерих приводит слова Владыки о «воздействии пространственных лучей Венеры в борьбе с излучениями Земли». Она отмечает, что почувствовала это воздействие «от солнечного сплетения вниз до кундалини и затем от кундалини обратно» (05.09.28). Воистину существует пятилепестковый священный Огненный Плат, сотканный Матерью Мира. «Ткань пряжи состоит из многих нитей, и явление пряжи повторено много раз. Ткань космическая состоит из всех проявлений психической энергии и украшена Материей Люцидой» (Б. 71) .

«Космос состоит из нескольких психопространственных явленных основ Материи Матрикс. Энергия разобщающая и энергия соединяющая одна и та же, но психодинамика связывает их материально» (Б. 66). Пифагорейцы, как и китайцы, учили, что мир состоит из пяти взаимосвязанных элементов, или стихий. «Эзотерическая наука признаёт четыре вполне физических элемента - огонь, воздух, воду, землю и пятый (эфир) - полуматериальный, который будет виден в воздухе к концу нашего Четвёртого круга, чтобы главенствовать над другими в продолжение всего Пятого» .

Ученик Е.П.Блаватской, известный философ-мистик и астролог М.Холл, сообщает много интересного о пяти элементах. «Древние философы употребляли термин “элемент” по отношению к пяти состояниям, или пяти степеням сгущения, материи, которые они различали, анализируя структуру мира. Эфир - самый разреженный из пяти элементов - возник первым, ибо образование мира, согласно древней космогонии, шло от края окружности к её центру. Из светящейся сферы эфира внутрь падали наиболее грубые частицы, чтобы образовать сферу воздуха. Воздух выделил из себя огненный принцип, в результате чего образовалась сфера огня. Из огня выделилась его противоположность - влажный принцип, и возникла вода. Более тяжёлые частицы, заключённые внутри элемента воды, опустились вниз, и из этого осадка появился самый “низменный” из элементов - сама земля. Пять элементов - это пять отрицательных полюсов пяти универсальных принципов.

Элементы - носители сил, исходящих от звёзд и сохранённых планетами. Элементы - хранилища жизненности, и каждый элемент сообщает организмам, в которые он входит, некую нравственную или интеллектуальную силу. Земля как элемент наделяет стабильностью, стойкостью, фундаментальностью; вода - принципом жизненности, плодовитости, силой роста. Огонь связан с силой движения, эмоций, чувственного восприятия, комплексом души. Воздух - носитель интеллектуального импульса. Эфир - носитель интуитивной и экстрасенсорной энергии, силы вдохновения. Он усиливается в тех, кто развил в себе эти способности и возможности» . В различных сочетаниях между собой пять элементов, или стихий, образуют минеральное, растительное, животное, человеческое царства, и пятый - сферу эфира, который пронизывает все остальные элементы и поддерживает в них существование.

Все пять элементов есть пространственные Силы Матери Мира, мощное действие которых пятерично в каждом человеке. «Брамины полагали, что пять элементов распределяются в человеческом теле по следующей схеме: элемент земли управляет областью от ступней до коленей, элемент воды - от колен до поясницы, огонь доминирует от поясницы до гортани, воздух - от гортани до лба, а эфир - от лба до макушки .

Эфир древние считали посредником между нашим миром и потусторонним миром. Великий Учитель уточняет сущность пятого элемента, называя его «отложениями психической энергии» (03.11.28).

Поскольку известно, что эфир сгустится так, что будет виден в воздухе и будет главенствовать над другими элементам, становится понятно, почему так много внимания уделяется в Агни Йоге воспитанию психической энергии. Каждая мысль есть мыслеобраз, который кристален, прозрачен и сияющ, как Додекаэдр Матери Мира, или тёмен, мохнат и колюч в случае злых мыслей. Так мы сами готовим себе прекрасное или безобразное будущее. Ткань космическая состоит из всех проявлений психической энергии.

Возвращаясь от составляющих чисел к фигуре додекаэдра, можно порадоваться, что эзотерические знания о строении Вселенной оказались идентичными результатам современных исследований крупномасштабного реликтового излучения Вселенной. Учёные пришли к выводу, что Вселенная имеет форму додекаэдра. Вселенная - прекрасный, невообразимых размеров кристалл, пронизанный Мощью Матери, и кристалл этот живой и любящий. Е.И.Рерих сравнивает всю Вселенную с бесконечной паутиной, «в которую вплетают новые узоры многочисленные пауки, или сознания различных степеней» . «Соткана Вселенная пряжею Материи Люциды и рычагом Любви» (Б. 49). Строение Земли, по последним научным данным, представляет собой додекаэдр в икосаэдре. Снова об этом говорил ещё Платон: «Земля, если взглянуть на неё сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи» .

Есть довольно интересная и старая тайна, над которой безуспешно ломают голову археологи во множестве стран Западной и Центральной Европы, когда при раскопках поселений времён Римской империи (I-IVв. н.э.) находят небольшие, от 4 до 10 см в поперечнике, пустотелые бронзовые или каменные додекаэдры. Их сейчас найдено около сотни. В центре каждого пятиугольника имеется круглое отверстие, вокруг которого нанесены концентрические круги, каждая из 20 вершин увенчана набалдашником в виде шарика. Назначение этих предметов до сих пор неизвестно. У них есть каменные аналоги, которые датируются 3000-1500 гг. до н.э. Найденный на территории Женевы литой свинцовый додекаэдр с гранями 1,5 см был покрыт пластинами из серебра с названиями знаков Зодиака на латыни. Этой тайне посвящен памятник в Бельгии (рис. 3).

Рис. 3. Памятник додекаэдру в Тоггерене (Бельгия)

Пифагор считал додекаэдр и икосаэдр сутью кристаллов пирита, который находят в Италии.

Н.К.Рерих в путевом дневнике «Алтай - Гималаи» пишет: «Толкуют об опытах Манойлова, исследовавшего пол растений и минералов, а также мужского и женского начал в крови. Опыт с минералом пиритом даёт результат, давно предсказанный наукой Востока. “Пирит даёт кристаллы двух видов - в виде куба и в виде двенадцатигранника. Если тот же единый реактив налить в пробирку с кубическими кристаллами, получится обесцвечивание жидкости - мужская реакция, а если то же сделать с двенадцатигранными кристаллами, получается фиолетовое окрашивание - женская реакция”. Для Запада это открытие ново, но Восток в своих древнейших формулах говорит о двенадцатиграннике Матери Мира - Женского Начала. Представьте себе, с какой спокойной улыбкой слушает учёный Востока о “новых” открытиях Запада… и кивает головой в знак давно известного согласия».

Минерал пирит древние греки считали близким огненному началу. Он использовался для добычи огня, о чём говорит его название (pyr - по-греч. «огонь»). Если ударить пиритом о кресало, образуются искры, которые не уступают кремню по длине и при этом живут дольше, легче зажигая трут. Таким образом, ассоциация между огнём и додекаэдром могла сложиться сама собой.

Есть на Земле ещё более тесная связь огненного начала и додекаэдра - шаровые молнии. В 1970-е годы советский учёный И.П.Стаханов сделал открытие о кластерной пентагональной структуре шаровой молнии . Она состоит из вещества в состоянии плазмы, но её огонь нежгуч, и тому много свидетельств. Были очевидцы, которые утверждали, что Н.Тесла мог создавать шаровые молнии, которые «жили» до нескольких минут, при этом он брал их в руки, клал в коробку, накрывал крышкой, опять доставал. Современные очевидцы природных явлений шаровой молнии «толкуют», по выражению Н.К.Рериха, о её разумном поведении.

Воистину Знак Мощи Матери Мира несёт в себе многогранные составляющие как Беспредельности, так и нашей планетной жизни. В записях Е.И.Рерих о видении Матери Мира есть более подробное описание этого прекрасного знака: «…Внезапно серебро одежд рассыпалось на многоцветные искры, которые быстро вновь собрались в серебро и гармонию магнетических движений - в радужную спиральную звезду - Додекаэдрон, необычайной красоты и образующей почти круг на ослепительном серебряном поле. Звезда вибрировала и казалась живой…» .

Здесь и далее в записях и письмах Е.И.Рерих, в Учении Агни Йоги звучит слово «додекаэдрон», производное от «додекаэдр», и это особый вибрационный огненный космический ритм, который несёт в себе и излучает в пространство кристаллическая структура додекаэдра. Земля с 1924 года входит в новый огненный ритм Вселенской Матери. «В Космосе живёт та разумная сила, которая называется космическим ритмом, и вся жизнь человеческая зависит от круга ритма» (Б.73). Один из простых примеров ритма - год, 12 ритмических отрезков времени.

Видение Матери Мира пришло к Е.И.Рерих в ночь на 18 июля 1924 года, когда Звезда Матери Мира небывало приблизилась к Земле. «Великая Эпоха начинается, ибо духоразумение связано с Матерью Мира. Важно наступление очень великой эпохи, которая существенно изменит жизнь Земли. Новые лучи достигают Землю в первый раз от её сформирования… вещество лучей проникает глубоко» (16.04.24). «За Утренней Звездой - планетное тело. Мы имеем двойные лучи. Область сердца получает их, и по мозгу позвоночника они производят сокращения затылочных малых центров» (17.04.24).

Говоря о сияющем Додекаэдроне, можно вспомнить такую же прекрасную Рождественскую звезду. «Звезда, которая вела волхвов, которая вспыхнула на небе более двух тысяч лет тому назад, по словам Игнатия Богоносца, “искрилась, подобно бриллианту, больше всех других звёзд”» . Она возвестила Эпоху Учителя Христа, прекрасный искрящийся Додекаэдрон - Эпоху Матери Мира.

Как же поможет человечеству сияющая спиральная звезда Владычицы Света? Она «должна отрицать грубость материи» (18.07.24). «Явление испорченности Тонкого Мира мешает человечеству непрерывно продолжать совершенствование. Но Тонкий Мир извращается земным миром, поэтому врачевание должно начаться отсюда» (А.Й., 226). «Луч Матери Мира может убрать недостойные образы» (16.05.24). Этот ритм создал Вселенную на основе гармонического равновесия, и на Земле постепенно возникнет новый мир. С проявлением этого ритма на нашей планете возрастает сила Света. Сияющий Свет Додекаэдрона невидим для физического зрения, но его магнитные вибрации обращены к сердцу, к духу людей и постепенно начнут притягивать к творческому труду и созидательному образу жизни всех, кто способен этот ритм почувствовать, кто чтит равновесие Начал. В менее чувствительных он будет закладывать зёрна Света, которые возрастут однажды.

Эпоха Матери Мира - это время сердечного восприятия жизни, или понимания духом, духоразумением. И именно эта вибрация, или огненный ритм, заложены в спиральном Додекаэдроне. Матерь Мира соткала Знак из спирали. Как можно это сделать? - «Упоминал о стержне духа посреди спирали - это построение запомните, ибо непреклонность, окружённая центробежным движением, может противостоять всем волнениям» (Общ., 90). Значит, каждая линия Додекаэдрона имеет духовный стержень непреклонности и спиральна (эволюционное развитие идёт по спирали). И каждая волна, или нить Додекаэдрона, проникая в тонкий организм человека, насыщает его высокой вибрацией духовной осознанности.

Во вселенском масштабе спиральные грани Додекаэдрона можно уподобить космическим суперструнам - тонким трубкам из симметричного высокоэнергетичного вакуума, в котором все взаимодействия объединены в одно. Суперструны образуют сеть Вселенной, при растягивании которой структура сети не меняется (додекаэдр - упругая среда!), а лишь рождает петли, частота колебаний которых приближается к скорости света. Петли стягивают окружающее вещество в комки, которые позднее превращаются в галактики. Самая маленькая петля имеет диаметр в 1 млн световых лет. Самая ближайшая из суперструн находится на расстоянии 300 млн световых лет от Земли.

Можно ли теперь почувствовать на себе вибрацию огненного Додекаэдрона? Данные об этом содержатся в письмах Е.И.Рерих и в книге «Агни Йога» («Знаки Агни Йоги»): «Додекаэдрон удалось показать, ибо нелегко это. Будем отмечать все знаки огня и психической энергии. Тем утвердим сходство этих высших понятий» (А.Й., 378).

Письмо Е.И.Рерих от 02.09.39: «Все эти ритмы и даже Додекаэдрон, или двойной махаван, были явлены мне во время моего приближения к разным степеням огненного напряжения… Но чтобы испытать подобные явления, необходимо иметь вполне здоровый организм, также необходимо очищение мышления и значительное расширение сознания при полном воздержании от раздражения. Кроме того, нужно иметь долю бесстрашия, чтобы воспринимать в полном спокойствии все необычные явления в организме, неизменно сопровождающие огненные явления. Необходимо побороть в себе мнительность и в то же время выработать распознавание и постоянную настороженность. Такой организм может посвятить себя огню в естестве, то есть будучи в земной оболочке, но при некоторой изоляции и пребывании на больших высотах, чтобы избежать чрезмерного давления крови во время прохождения уже высокой степени огненного приобщения. Мой организм в силу невозможности иметь все условия, например, полную изоляцию, пострадал от чрезмерного насыщения, так, сердце моё повреждено, и я должна быть осторожна. Как Вы знаете, я дважды была на краю огненной смерти. Все этические правила или наставления при соблюдении их являются подготовительными ступенями для восприятия высших энергий. Меня радует, что Вы понимаете, что духовные и огненные достижения не так легки, как они кажутся малосведущим людям. Именно самым трудным в жизни являются эти достижения, но без упорной, постоянной и неослабной работы над собою, работы над искоренением всех нежелательных привычек, как своих, так и атавистических, успех невозможен. Все зримые Вами звёздочки, световые пятна, огненные вспышки являются начальными степенями приближения к огню пространства. Организм человека настолько утончился в силу общечеловеческой эволюции, что такие явления, как звучание на различные космические токи, наблюдаются сейчас у многих людей».

После великой трагедии во времена Атлантиды, когда был нанесён удар культу духа, мир получил противовес в виде магнитного Источника Силы Матери - сияющего Додекаэдра и вибрационного огненного ритма - Додекаэдрона, насыщающего космической огненной любовью каждый атом, любовью Матери, которой так не хватало нашей планете. Соединённое творчество Матери Мира и Старших Братьев человечества во главе с Великим Учителем открывает для нашего мира строительство нового огненного цикла тысячелетий. Додекаэдр - знак Матери, и он передаёт Её зов как зов сияющего любовью пространства. И именно с этим зовом встречается тот, кто идёт путём духа, путём сердца, или духоразумения. Созвучие именно с этой магнитной вибрационной Силой открывает «Врата, куда войти», потому что Матерь Мира - Глава Иерархии Света, и вибрация Её наполняет пространство.

В Космосе живёт духовное единение, единение сознания, но на Земле групповое сознание рушится из-за незнания почитания Начал. Но творит возрастающая огненная энергия, и жизнь пойдёт новыми путями, рычагами любви и веры, красотою жизни и космической энергией, и Матерь Мира зовёт к космической красоте и единению. И надо только пожелать новых образов и устремиться! «Космическое Правосудие знает план эволюции, и план совершается по начертанию одного и того же Огня Матери Мира! Пусть Пламя Огненное озарит людей!» (Б., 49).

Во всём одухотворённом Космосе живёт межпланетное единство, и только бедное человечество больно разъединением. Тем не менее следующий шаг эволюции - Дальние миры. И именно к ним зовёт огненный ритм кристалла Матери Мира. Но открытие этого нового пути - не для отвлечения от жизни, но для сотрудничества с Дальними мирами: «Формы настоящего времени могут быть названы ищущими достижения совершенства. Формы будущего соответствуют Дальним мирам. Лишившись познания космических далей… человечество утеряло нить соединения с красотой жизни. Как царство прекрасное, пусть дальние миры живут в сознании людей… как семя, растущее и дающее цветок…» (Б., 44).

Сияющий космической любовью Додекаэдр, Знак Мощи Матери Мира, - в основе всех миров. Там Матерь Мира живёт в красоте жизни, где сияет огонь духа, и все болячки земные будут трансмутированы в огненном творчестве. Совместное творчество создаст лучшее будущее и лестницу эволюции для человечества. Матерь Мира и Братья человечества зовут к Дальним мирам. Как начать этот путь? Можно просто взглянуть на прекрасное звёздное небо и сказать от сердца: «Славься, Матерь Мира!». Можно сконцентрироваться на звезде и сказать: «Здравствуйте, Братья и Сестры!». И однажды пространство откликнется в вашей душе. Ведь «всё, чем человечество обладает, оно черпает из сокровищницы Космоса. Великий рычаг веры поможет духу найти путь. Явите желание новых образов. Явите желание новых путей. Пробудив желание к красоте Беспредельности во всём, человечество пойдёт без оглядки. Только величие Космоса устремит дух к недостижимым Высотам» (Б., 46).

РАЗВЕРТКА ДОДЕКАЭДРА

ДОДЕКАЭДР — один из пяти правильных многогранников, так называемое Платоновское тело.

НАЗВАНИЕ. В переводе «додекаэдр» значит — «12 граней

В ЧИСЛОВОМ ВЫРАЖЕНИИ. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин, 30 ребер.

РАЗВЕРТКА ДОДЕКАЭДРА. Развертка состоит из двенадцати правильных пяти-угольников, кроме того, развертка включает в себя еще и клапаны.

КАК СДЕЛАТЬ ДОДЕКАЭДР ПО РАЗВЕРТКЕ. Согнуть развертку по всем необходимым линиям «горой». Если развертка выполнена на плотной бумаге, то по всем линиям сгиба провести по изнанке острым краем ножниц.

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ. В каждой вершине додекаэдра сходится три пяти-угольника

СТИХИИ. По мнению некоторых средневековых ученых, додекаэдру соответствует Эфир (то есть пустота)

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости.

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»

В 2003 году, при анализе данных космического аппарата WMAP, была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой додекаэдрическое пространство Пуанкаре

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II-III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Древние мудрецы говорили: «Чтобы познать невидимое, смотри внимательно на видимое». В плане сакральных сил додекаэдр самый мощный многогранник. Не зря Сальвадор Дали для своей «Тайной вечере» выбрал эту фигуру. В ней от двенадацати пятиугольников — тоже сильной фигуре, силы концентрируются в одной точке — на Иисусе Христе.

А теперь взгляните да додекаэдр и осознайте, что число 5 формирует КРИСТАЛЛ СИЛЫ.

Фигура относится к одному из пяти Платоновых тел (наряду с тетраэдром, октаэдром, гексаэдром (кубом) и икосаэдром). Интересно, что согласно многочисленным историческим документам, все они активно использовались жителями Древней Греции в виде настольных игральных костей и изготавливались из самого различного материала.

ДОДЕКАЭДР В ПРИРОДЕ. Кристалл пирита — сернистого колчедана — FeS2 — очень красив, и, по легенде, именно он подсказал грекам идею «правильного» додекаэдра.

Если длину ребра додекаэдра принять за , то площадь всей поверхности додекаэдра равна