Как посчитать среднеквадратическое отклонение. Дисперсия: генеральная, выборочная, исправленная

Х i - случайные (текущие) величины;

X̅ – среднее значение случайных величин по выборке, рассчитывается по формуле:

Итак, дисперсия - это средний квадрат отклонений . То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат , складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности.

Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, мы просто рассчитываем среднюю арифметическую.

Разгадка магического слова «дисперсия» заключается всего в этих трех словах: средний – квадрат – отклонений.

Среднее квадратичное отклонение (СКО)

Извлекая из дисперсии квадратный корень, получаем, так называемое «среднеквадратичное отклонение». Встречаются названия «стандартное отклонение» или «сигма» (от названия греческой буквыσ .). Формула среднего квадратичного отклонения имеет вид:

Итак, дисперсия – это сигма в квадрате, или – среднее квадратичное отклонение в квадрате.

Среднеквадратичное отклонение, очевидно, также характеризует меру рассеивания данных, но теперь (в отличие от дисперсии) его можно сравнивать с исходными данными, так как единицы измерения у них одинаковые (это явствует из формулы расчета). Размах вариации – это разница между крайними значениями. Среднеквадратичное отклонение, как мера неопределенности, также участвует во многих статистических расчетах. С ее помощью устанавливают степень точности различных оценок и прогнозов. Если вариация очень большая, то стандартное отклонение тоже получится большим, следовательно, и прогноз будет неточным, что выразится, к примеру, в очень широких доверительных интервалах.

Поэтому в методах статистической обработки данных в оценках объектов недвижимости в зависимости от необходимой точности поставленной задачи используют правило двух или трех сигм.

Для сравнения правила двух сигм и правила трех сигм используем формулу Лапласа:

Ф - Ф ,

где Ф(x) – функция Лапласа;

Минимальное значение

β = максимальное значение

s = значение сигмы (среднее квадратичное отклонение)

a = среднее значение

В этом случае используется частный вид формулы Лапласа когда границы α и β значений случайной величины X равно отстоят от центра распределения a = M(X) на некоторую величину d: a = a-d, b = a+d. Или (1) Формула (1) определяет вероятность заданного отклонения d случайной величины X с нормальным законом распределения от ее математического ожидания М(X) = a. Если в формуле (1) принять последовательно d = 2s и d = 3s, то получим: (2), (3).

Правило двух сигм

Почти достоверно (с доверительной вероятностью 0,954) можно утверждать, что все значения случайной величины X с нормальным законом распределения отклоняются от ее математического ожидания M(X) = a на величину, не большую 2s (двух средних квадратических отклонений). Доверительной вероятностью (Pд) называют вероятность событий, которые условно принимаются за достоверные (их вероятность близка к 1).

Проиллюстрируем правило двух сигм геометрически. На рис. 6 изображена кривая Гаусса с центром распределения а. Площадь, ограниченная всей кривой и осью Оx, равна 1 (100%), а площадь криволинейной трапеции между абсциссами а–2s и а+2s, согласно правилу двух сигм, равна 0,954 (95,4% от всей площади). Площадь заштрихованных участков равна 1-0,954 = 0,046 (»5% от всей площади). Эти участки называют критической областью значений случайной величины. Значения случайной величины, попадающие в критическую область, маловероятны и на практике условно принимаются за невозможные.

Вероятность условно невозможных значений называют уровнем значимости случайной величины. Уровень значимости связан с доверительной вероятностью формулой:

где q – уровень значимости, выраженный в процентах.

Правило трех сигм

При решении вопросов, требующих большей надежности, когда доверительную вероятность (Pд) принимают равной 0,997 (точнее - 0,9973), вместо правила двух сигм, согласно формуле (3), используют правило трех сигм.

Согласно правилу трех сигм при доверительной вероятности 0,9973 критической областью будет область значений признака вне интервала (а-3s, а+3s). Уровень значимости составляет 0,27%.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными. Т.е. выборка высокоточная.

В этом и состоит сущность правила трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения (СКО).

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Уровень значимости принимают в зависимости от дозволенной степени риска и поставленной задачи. Для оценки недвижимости обычно принимается менее точная выборка, следуя правилу двух сигм.

Среднеквадратическое или стандартное отклонение - статистический показатель, оценивающий величину колебаний числовой выборки вокруг ее среднего значения. Практически всегда основное количество величин распределяется в пределе плюс-минус одно стандартное отклонение от среднего значения.

Определение

Среднеквадратическое отклонение - это квадратный корень из среднего арифметического значения суммы квадратов отклонений от среднего значения. Строго и математично, но абсолютно непонятно. Это словесное описание формулы расчета стандартного отклонения, но чтобы понять смысл этого статистического термина, давайте разберемся со всем по порядку.

Представьте себе тир, мишень и стрелка. Снайпер стреляет в стандартную мишень, где попадание в центр дает 10 баллов, в зависимости от удаления от центра количество баллов снижается, а попадание в крайние области дает всего 1 балл. Каждый выстрел стрелка - это случайное целое значение от 1 до 10. Изрешеченная пулями мишень - прекрасная иллюстрация распределения случайной величины.

Математическое ожидание

Наш начинающий стрелок долго практиковался в стрельбе и заметил, что он попадает в разные значения с определенной вероятностью. Допустим, на основании большого количества выстрелов он выяснил, что попадает в 10 с вероятностью 15 %. Остальные значения получили свои вероятности:

• 9 - 25 %;
• 8 - 20 %;
• 7 - 15 %;
• 6 - 15 %;
• 5 - 5 %;
• 4 - 5 %.

Сейчас он готовится сделать очередной выстрел. Какое значение он выбьет с наибольшей вероятностью? Ответить на этот вопрос нам поможет математическое ожидание. Зная все эти вероятности, мы можем определить наиболее вероятный результат выстрела. Формула для вычисления математического ожидания довольно проста. Обозначим значение выстрела как C, а вероятность как p. Математическое ожидание будет равно сумме произведение соответствующих значений и их вероятностей:

Определим матожидание для нашего примера:

• M = 10 × 0,15 + 9 × 0,25 + 8 × 0,2 + 7 × 0,15 + 6 × 0,15 + 5 × 0,05 + 4 × 0,05
• M = 7,75

Итак, наиболее вероятно, что стрелок попадет в зону, дающую 7 очков. Эта зона будет самой простреленной, что является прекрасным результатом наиболее частого попадания. Для любой случайной величины показатель матожидания означает наиболее встречаемое значение или центр всех значений.

Дисперсия

Дисперсия - еще один статистический показатель, иллюстрирующий нам разброс величины. Наша мишень густо изрешечена пулями, а дисперсия позволяет выразить этот параметр численно. Если математическое ожидание демонстрирует центр выстрелов, то дисперсия - их разброс. По сути, дисперсия означает математическое ожидание отклонений значений от матожидания, то есть средний квадрат отклонений. Каждое значение возводится в квадрат для того, чтобы отклонения были только положительными и не уничтожали друг друга в случае одинаковых чисел с противоположными знаками.

D[X] = M − (M[X]) 2

Давайте рассчитаем разброс выстрелов для нашего случая:

• M = 10 2 × 0,15 + 9 2 × 0,25 + 8 2 × 0,2 + 7 2 × 0,15 + 6 2 × 0,15 + 5 2 × 0,05 + 4 2 × 0,05
• M = 62,85
• D[X] = M − (M[X]) 2 = 62,85 − (7,75) 2 = 2,78

Итак, наше отклонение равно 2,78. Это означает, что от области на мишени со значением 7,75 пулевые отверстия разбросаны на 2,78 балла. Однако в чистом виде значение дисперсии не используется - в результате мы получаем квадрат значения, в нашем примере это квадратный балл, а в других случаях это могут быть квадратные килограммы или квадратные доллары. Дисперсия как квадратная величина не информативна, поэтому она представляет собой промежуточный показатель для определения среднеквадратичного отклонения - героя нашей статьи.

Среднеквадратическое отклонение

Для превращения дисперсии в логично понятные баллы, килограммы или доллары используется среднеквадратическое отклонение, которое представляет собой квадратный корень из дисперсии. Давайте вычислим его для нашего примера:

S = sqrt(D) = sqrt(2,78) = 1,667

Мы получили баллы и теперь можем использовать их для связки с математически ожиданием. Наиболее вероятный результат выстрела в этом случае будет выражен как 7,75 плюс-минус 1,667. Этого достаточно для ответа, но так же мы можем сказать, что практически наверняка стрелок попадет в область мишени между 6,08 и 9,41.

Стандартное отклонение или сигма - информативный показатель, иллюстрирующий разброс величины относительно ее центра. Чем больше сигма, тем больший разброс демонстрирует выборка. Это хорошо изученный коэффициент и для нормального распределения известно занимательное правило трех сигм. Установлено, что 99,7 % значений нормально распределенной величины лежат в области плюс-минус трех сигм от среднего арифметического.

Рассмотрим на примере

Волатильность валютной пары

Известно, что на валютном рынке широко используются приемы математической статистики. Во многих торговых терминалах встроены инструменты для подсчета волатильности актива, который демонстрирует меру изменчивости цены валютной пары. Конечно, финансовые рынки имеют свою специфику расчета волатильности как то цены открытия и закрытия биржевых площадок, но в качестве примера мы можем подсчитать сигму для последних семи дневных свечей и грубо прикинуть недельную волатильность.

Наиболее волатильным активом рынка Форекс по праву считается валютная пара фунт/иена. Пусть теоретически в течение недели цена закрытия токийской биржи принимала следующие значения:

145, 147, 146, 150, 152, 149, 148.

Введем эти данные в калькулятор и подсчитаем сигму, равную 2,23. Это означает, что в среднем курс японской иены изменялся на 2,23 иены ежедневно. Если бы все было так замечательно, трейдеры заработали бы на таких движениях миллионы.

Заключение

Стандартное отклонение используется в статистическом анализе числовых выборок. Это полезный коэффициент позволяющий оценить разброс данных, так как два набора с, казалось бы, одинаковым средним значением могут быть абсолютно разными по разбросу величин. Используйте наш калькулятор для поиска сигм небольших выборок.

Полученные из опыта величины неизбежно содержат погрешности, обусловленные самыми разнообразными причинами. Среди них следует различать погрешности систематические и случайные. Систематические ошибки обусловливаются причинами, действующими вполне определенным образом, и могут быть всегда устранены или достаточно точно учтены. Случайные ошибки вызываются весьма большим числом отдельных причин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном измерении различным образом. Эти ошибки невозможно совершенно исключить; учесть же их можно только в среднем, для чего необходимо знать законы, которым подчиняются случайные ошибки.

Будем обозначать измеряемую величину через А, а случайную ошибку при измерении х. Так как ошибка х может принимать любые значения, то она является непрерывной случайной величиной, которая вполне характеризуется своим законом распределения.

Наиболее простым и достаточно точно отображающим действительность (в подавляющем большинстве случаев) является так называемый нормальный закон распределения ошибок :

Этот закон распределения может быть получен из различных теоретических предпосылок, в частности, из требования, чтобы наиболее вероятным значением неизвестной величины, для которой непосредственным измерением получен ряд значений с одинаковой степенью точности, являлось среднее арифметическое этих значений. Величина 2 называется дисперсией данного нормального закона.

Среднее арифметическое

Определение дисперсии по опытным данным. Если для какой-либо величины А непосредственным измерением получено n значений a i с одинаковой степенью точности и если ошибки величины А подчинены нормальному закону распределения, то наиболее вероятным значением А будет среднее арифметическое :

a - среднее арифметическое,

a i - измеренное значение на i-м шаге.

Отклонение наблюдаемого значения (для каждого наблюдения) a i величины А от среднего арифметического : a i - a.

Для определения дисперсии нормального закона распределения ошибок в этом случае пользуются формулой:

2 - дисперсия,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,

Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение измеренных значений от среднеарифметического . В соответствии с формулой для меры точности линейной комбинации средняя квадратическая ошибка среднего арифметического определяется по формуле:

, где

a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации характеризует относительную меру отклонения измеренных значений от среднеарифметического :

, где

V - коэффициент вариации,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое.

Чем больше значение коэффициента вариации , тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Среднее линейное отклонение

Один из показателей размаха и интенсивности вариации - среднее линейное отклонение (средний модуль отклонения) от среднего арифметического. Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:

, где

_
a - среднее линейное отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.

Для проверки соответствия исследуемых значений закону нормального распределения применяют отношение показателя асимметрии к его ошибке и отношение показателя эксцесса к его ошибке.

Показатель асимметрии

Показатель асимметрии (A) и его ошибка (m a) рассчитывается по следующим формулам:

, где

А - показатель асимметрии,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.

Показатель эксцесса

Показатель эксцесса (E) и его ошибка (m e) рассчитывается по следующим формулам:

, где

При статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Среднеквадратическое отклонение:

Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины Пол, стены вокруг нас и потолок,x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии):

где - дисперсия ; - Пол, стены вокруг нас и потолок,i -й элемент выборки; - объём выборки; - среднее арифметическое выборки:

Следует отметить, что обе оценки являются смещёнными. В общем случае несмещённую оценку построить невозможно. Однако оценка на основе оценки несмещённой дисперсии является состоятельной .

Правило трёх сигм

Правило трёх сигм () - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго - не менее чем с 99,7 % достоверностью значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не , а Пол, стены вокруг нас и потолок,s . Таким образом, правило трёх сигм преобразуется в правило трёх Пол, стены вокруг нас и потолок,s .

Интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Большое значение среднеквадратического отклонения показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Например, у нас есть три числовых множества: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8}. У всех трёх множеств средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения - значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределенности. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

Практическое применение

На практике среднеквадратическое отклонение позволяет определить, насколько значения в множестве могут отличаться от среднего значения.

Климат

Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой внутри континента. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

Спорт

Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.

Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.

Технический анализ

См. также

Литература

Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/17 декабря 2012. Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно попытаться улучшить, однако следует воздерживаться от переименований или удаления содержания, подробнее см. руководство к дальнейшему действию. Не снимайте пометку о выставлении на удаление до окончания обсуждения. Администраторам: ссылки сюда, история (последнее изменение), журналы , удалить .

* Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. - СПб. : Питер, 2003. - 688 с. - ISBN 5-272-00078-1 .

Статистические показатели
Описательная статистика	Непрерывные данные Коэффициент сдвига Среднее (Арифметическое , Геометрическое , Гармоническое) · Медиана · Мода · Размах Вариация Ранг · Среднеквадратическое отклонение · Коэффициент вариации · Квантиль (Дециль, Процентиль/Перцентиль/Центиль) Моменты Математическое ожидание · Дисперсия · Асимметрия · Эксцесс Дискретные данные Частота · Таблица контингентности
Статистический вывод и проверка гипотез	Статистический вывод Доверительный интервал (Частотная вероятность) · Достоверный интервал (Байесовский вывод) · Статистическая значимость · Мета-анализ Планирование эксперимента Генеральная совокупность · Планирование выборки · Районированная выборка · Репликация · Группировка · Чувствительность и специфичность Объём выборки Статистическая мощность · Мера эффекта · Стандартная ошибка Общая оценка Байесовская оценка решения ·

Среднее квадратическое отклонение

Наиболее совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое откложение, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ называют стандартом (или стандартным отклонение).Среднее квадратическое отклонение () равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:

Среднее квадратическое отклонение простое:

Среднее квадратическое отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:

Между средним квадратическим и средним линœейным отклонениями в условиях нормального распределœения имеет место следующее соотношение: ~ 1,25.

Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой вариации, используется при определœении значений ординат кривой нормального распределœения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.

18.Дисперсия, ее виды, среднеквадратическое отклонение.

Диспе́рсия случа́йной величины́ - мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения отматематического ожидания. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии принято называтьсреднеквадрати́чным отклоне́нием , станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

Общая дисперсия (σ 2 ) измеряет вариацию признака во всœей совокупности под влиянием всœех факторов, обусловивших эту вариацию. Вместе с тем, благодаря методу группировок можно выделить и измерить вариацию, обусловленную группировочным признаком, и вариацию, возникающую под влиянием неучтенных факторов.

Межгрупповая дисперсия (σ 2 м.гр ) характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величинœе изучаемого признака, возникающие под влиянием признака – фактора, положенного в основание группировки.

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (синонимы: среднее квадрати́ческое отклоне́ние , среднеквадрати́чное отклоне́ние , квадрати́чное отклоне́ние ; близкие термины:станда́ртное отклоне́ние , станда́ртный разбро́с ) - в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величиныотносительно её математического ожидания. При ограниченных массивах выборок значений вместо математического ожидания используется среднее арифметическоесовокупности выборок.

Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линœейной взаимосвязи между случайными величинами. Определяется какквадратный корень из дисперсии случайной величины.

Среднеквадратическое отклонение:

Стандартное отклонение (оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на базе несмещённой оценки её дисперсии):

где - дисперсия; - i -й элемент выборки; - объём выборки; - среднее арифметическое выборки:

Следует отметить, что обе оценки являются смещёнными. В общем случае несмещённую оценку построить невозможно. При этом оценка на базе оценки несмещённой дисперсии является состоятельной.

19.Сущность, область применения и порядок определœения моды и медианы.

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределœения пользуются структурными средними, которые представлены,в основном, модой и медианой .

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, к примеру, при определœении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателœей. Модой для дискретного ряда является варианта͵ обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда крайне важно сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем - значение модальной величины признака по формуле:

§ - значение моды

§ - нижняя граница модального интервала

§ - величина интервала

§ - частота модального интервала

§ - частота интервала, предшествующего модальному

§ - частота интервала, следующего за модальным

Медиана - это значение признака, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ лежит в базе ранжированного ряда и делит данный ряд на две равные по численности части.

Для определœения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (В случае если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

М е = (n (число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в серединœе ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем - значение медианы по формуле:

§ - искомая медиана

§ - нижняя граница интервала, который содержит медиану

§ - величина интервала

§ - сумма частот или число членов ряда

§ - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

§ - частота медианного интервала

Пример . Найти моду и медиану.

Решение : В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на данный интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

Это значит что модальный возраст студентов равен 27 годам.

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта͵ которая делит совокупность на две равные части (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

Кроме моды и медианы бывают использованы такие показатели, как квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили - на 100 частей.

20.Понятие выборочного наблюдения и область его применения.

Выборочное наблюдение применяется, когда применение сплошного наблюдения физически невозможно из-за большого массива данных или экономически нецелœесообразно . Физическая невозможность имеет место, к примеру, при изучении пассажиропотоков, рыночных цен, семейных бюджетов. Экономическая нецелœесообразность имеет место при оценке качества товаров, связанной с их уничтожением, к примеру, дегустация, испытание кирпичей на прочность и т.п.

Статистические единицы, отобранные для наблюдения, составляют выборочную совокупность или выборку , а весь их массив - генеральную совокупность (ГС). При этом число единиц в выборке обозначают n , а во всœей ГС - N . Отношение n/N принято называть относительный размер или доля выборки .

Качество результатов выборочного наблюдения зависит от репрезентативности выборки , то есть от того, насколько она представительна в ГС. Для обеспечения репрезентативности выборки крайне важно соблюдать принцип случайности отбора единиц , который предполагает, что на включение единицы ГС в выборку не может повлиять какой-либо иной фактор кроме случая.

Существует 4 способа случайного отбора в выборку:

1. Собственно случайный отбор или ʼʼметод лотоʼʼ, когда статистическим величинам присваиваются порядковые номера, заносимые на определœенные предметы (к примеру, бочонки), которые затем перемешиваются в некоторой емкости (к примеру, в мешке) и выбираются наугад. На практике данный способ осуществляют с помощью генератора случайных чисел или математических таблиц случайных чисел.
2. Механический отбор, согласно которому отбирается каждая (N/n )-я величина генеральной совокупности. К примеру, в случае если она содержит 100 000 величин, а требуется выбрать 1 000, то в выборку попадет каждая 100 000 / 1000 = 100-я величина. Причем, в случае если они не ранжированы, то первая выбирается наугад из первой сотни, а номера других будут на сотню больше. К примеру, в случае если первой оказалась единица № 19, то следующей должна быть № 119, затем № 219, затем № 319 и т.д. В случае если единицы генеральной совокупности ранжированы, то первой выбирается № 50, затем № 150, затем № 250 и так далее.
3. Отбор величин из неоднородного массива данных ведется стратифицированным (расслоенным) способом, когда генеральная совокупность предварительно разбивается на однородные группы, к которым применяется случайный или механический отбор.
4. Особый способ составления выборки представляет собой серийный отбор, при котором случайно или механически выбирают не отдельные величины, а их серии (последовательности с какого-то номера по какой-то подряд), внутри которых ведут сплошное наблюдение.

Качество выборочных наблюдений зависит и от типа выборки : повторная или бесповторная. При повторном отборе попавшие в выборку статистические величины или их серии после использования возвращаются в генеральную совокупность, имея шанс попасть в новую выборку. При этом у всœех величин генеральной совокупности одинаковая вероятность включения в выборку. Бесповторный отбор означает, что попавшие в выборку статистические величины или их серии после использования не возвращаются в генеральную совокупность, а потому для остальных величин последней повышается вероятность попадания в следующую выборку.

Бесповторный отбор дает более точные результаты, в связи с этим применяется чаще. Но есть ситуации, когда его применить нельзя (изучение пассажиропотоков, потребительского спроса и т.п.) и тогда ведется повторный отбор.

21.Предельная ошибка выборки наблюдения, средняя ошибка выборки, порядок их расчета.

Рассмотрим подробно перечисленные выше способы формирования выборочной совокупности и возникающие при этом ошибки репрезентативности. Собственно-случайная выборка основывается на отборе единиц из генеральной совокупности наугад без каких-либо элементов системности. Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьевки (к примеру, розыгрыши лотерей) или по таблице случайных чисел.

Собственно-случайный отбор ʼʼв чистом видеʼʼ в практике выборочного наблюдения применяется редко, но он является исходным среди других видов отбора, в нем реализуются основные принципы выборочного наблюдения. Рассмотрим некоторые вопросы теории выборочного метода и формулы ошибок для простой случайной выборки.

Ошибка выборочного наблюдения - ϶ᴛᴏ разность между величиной параметра в генеральной совокупности, и его величиной, вычисленной по результатам выборочного наблюдения. Важно заметить, что для средней количественного признака ошибка выборки определяется

Показатель принято называть предельной ошибкой выборки. Выборочная средняя является случайной величиной, которая может принимать различные значения исходя из того, какие единицы попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. По этой причине определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю ошибку выборки , которая зависит от:

· объёма выборки: чем больше численность, тем меньше величина средней ошибки;

· степени изменения изучаемого признака: чем меньше вариация признака, а, следовательно, и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки.

При случайном повторном отборе средняя ошибка рассчитывается . Практически генеральная дисперсия точно не известна, но в теории вероятности доказано, что . Так как величина при достаточно больших n близка к 1, можно считать, что . Тогда средняя ошибка выборки должна быть рассчитана: . Но в случаях малой выборки (при n<30) коэффициент крайне важно учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле .

При случайной бесповторной выборке приведенные формулы корректируются на величину . Тогда средняя ошибка бесповторной выборки: и . Т.к. всœегда меньше , то множитель () всœегда меньше 1. Это значит, что средняя ошибка при бесповторном отборе всœегда меньше, чем при повторном. Механическая выборка применяется, когда генеральная совокупность каким-либо способом упорядочена (к примеру, списки избирателœей по алфавиту, телœефонные номера, номера домов, квартир). Отбор единиц осуществляется через определœенный интервал, который равен обратному значению процента выборки. Так при 2% выборке отбирается каждая 50 единица =1/0,02 , при 5% каждая 1/0,05=20 единица генеральной совокупности.

Начало отсчета выбирается разными способами: случайным образом, из середины интервала, со сменой начала отсчета. Главное при этом – избежать систематической ошибки. К примеру, при 5% выборке, в случае если первой единицей выбрана 13-я, то следующие 33, 53, 73 и т.д.

По точности механический отбор близок к собственно-случайной выборке. По этой причине для определœения средней ошибки механической выборки используют формулы собственно-случайного отбора.

При типическом отборе обследуемая совокупность предварительно разбивается на однородные, однотипные группы. К примеру, при обследовании предприятий это бывают отрасли, подотрасли, при изучении населœения – районы, социальные или возрастные группы. Далее осуществляется независимый выбор из каждой группы механическим или собственно-случайным способом.

Типическая выборка дает более точные результаты по сравнению с другими способами. Типизация генеральной совокупности обеспечивает представительство в выборке каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. Следовательно, при нахождении ошибки типической выборки согласно правилу сложения дисперсий () крайне важно учесть лишь среднюю из групповых дисперсий. Тогда средняя ошибка выборки: при повторном отборе , при бесповторном отборе , где – средняя из внутригрупповых дисперсий в выборке.

Серийный (или гнездовой) отбор применяется в случае, когда генеральная совокупность разбита на серии или группы до начала выборочного обследования. Этими сериями бывают упаковки готовой продукции, студенческие группы, бригады. Серии для обследования выбираются механическим или собственно-случайным способом, а внутри серии производится сплошное обследование единиц. По этой причине средняя ошибка выборки зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии, которая вычисляется по формуле: где r – число отобранных серий; – средняя і-той серии. Средняя ошибка серийной выборки рассчитывается: при повторном отборе , при бесповторном отборе , где R – общее число серий. Комбинированный отбор представляет собой сочетание рассмотренных способов отбора.

Средняя ошибка выборки при любом способе отбора зависит главным образом от абсолютной численности выборки и в меньшей степени – от процента выборки. Предположим, что проводится 225 наблюдений в первом случае из генеральной совокупности в 4500 единиц и во втором – в 225000 единиц. Дисперсии в обоих случаях равны 25. Тогда в первом случае при 5 %-ном отборе ошибка выборки составит: Во втором случае при 0,1 %-ном отборе она будет равна:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, при уменьшении процента выборки в 50 раз, ошибка выборки увеличилась незначительно, так как численность выборки не изменилась. Предположим, что численность выборки увеличили до 625 наблюдений. В этом случае ошибка выборки равна: Увеличение выборки в 2,8 раза при одной и той же численности генеральной совокупности снижает размеры ошибки выборки более чем в 1,6 раза.

22.Методы и способы формирования выборочной совокупности.

В статистике применяются различные способы формирования выборочных совокупностей, что обусловливается задачами исследования и зависит от специфики объекта изучения.

Основным условием проведения выборочного обследования является предупреждение возникновения систематических ошибок, возникающих вследствие нарушения принципа равных возможностей попадания в выборку каждой единицы генеральной совокупности. Предупреждение систематических ошибок достигается в результате применения научно обоснованных способов формирования выборочной совокупности.

Существуют следующие способы отбора единиц из генеральной совокупности: 1) индивидуальный отбор - в выборку отбираются отдельные единицы; 2) групповой отбор - в выборку попадают качественно однородные группы или серии изучаемых единиц; 3) комбинированный отбор - это комбинация индивидуального и группового отбора. Способы отбора определяются правилами формирования выборочной совокупности.

Выборка должна быть:

• собственно-случайная состоит в том, что выборочная совокупность образуется в результате случайного (непреднамеренного) отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки. Доля выборки есть отношение числа единиц выборочной совокупности n к численности единиц генеральной совокупности N, ᴛ.ᴇ.

• механическая состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность производится из генеральной совокупности, разбитой на равные интервалы (группы). При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратной величинœе доли выборки. Так, при 2%-ной выборке отбирается каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке - каждая 20-я единица (1:0,05) и т.д. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в соответствии с принятой долей отбора, генеральная совокупность как бы механически разбивается на равновеликие группы. Из каждой группы в выборку отбирается лишь одна единица.
• типическая – при которойгенеральная совокупность вначале расчленяется на однородные типические группы. Далее из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность. Важной особенностью типической выборки является то, что она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность;
• серийная - при которой генеральную совокупность делят на одинаковые по объёму группы - серии. В выборочную совокупность отбираются серии. Внутри серий производится сплошное наблюдение единиц, попавших в серию;
• комбинированная - выборка должна быть двухступенчатой. При этом генеральная совокупность сначала разбивается на группы. Далее производят отбор групп, а внутри последних осуществляется отбор отдельных единиц.

В статистике различают следующие способы отбора единиц в выборочную совокупность:

• одноступенчатая выборка - каждая отобранная единица сразу же подвергается изучению по заданному признаку (собственно-случайная и серийная выборки);
• многоступенчатая выборка - производят подбор из генеральной совокупности отдельных групп, а из групп выбираются отдельные единицы (типическая выборка с механическим способом отбора единиц в выборочную совокупность).

Кроме того различают :

• повторный отбор – по схеме возвращенного шара. При этом каждая попавшая в выборку единица иди серия возвращается в генеральную совокупность и в связи с этим имеет шанс снова попасть в выборку;
• бесповторный отбор – по схеме невозвращенного шара. Он имеет более точные результаты при одном и том же объёме выборки.

23.Определœение крайне важно го объёма выборки (использование таблицы Стьюдента).

Одним из научных принципов в теории выборочного метода является обеспечение достаточного числа отобранных единиц. Теоретически крайне важно сть соблюдения этого принципа представлена в доказательствах предельных теорем теории вероятностей, которые позволяют установить, какой объём единиц следует выбрать из генеральной совокупности, чтобы он был достаточным и обеспечивал репрезентативность выборки.

Уменьшение стандартной ошибки выборки, а следовательно, увеличение точности оценки всœегда связано с увеличением объёма выборки, в связи с этим уже на стадии организации выборочного наблюдения приходится решать вопрос о том, каков должен быть объём выборочной совокупности, чтобы была обеспечена требуемая точность результатов наблюдений. Расчет крайне важно го объёма выборки строится с помощью формул, выведенных из формул предельных ошибок выборки (А), соответствующих тому или иному виду и способу отбора. Так, для случайного повторного объёма выборки (n) имеем:

Суть этой формулы – в том, что при случайном повторном отборе крайне важно й численности объём выборки прямо пропорционален квадрату коэффициента доверия (t2) и дисперсии вариационного признака (?2) и обратно пропорционален квадрату предельной ошибки выборки (?2). В частности, с увеличением предельной ошибки в два раза необходимая численность выборки должна быть уменьшена в четыре раза. Из трех параметров два (t и?) задаются исследователœем. При этом исследователь исходя из цели

и задач выборочного обследования должен решить вопрос: в каком количественном сочетании лучше включить эти параметры для обеспечения оптимального варианта? В одном случае его может больше устраивать надежность полученных результатов (t), нежели мера точности (?), в другом – наоборот. Сложнее решить вопрос в отношении величины предельной ошибки выборки, так как этим показателœем исследователь на стадии проектировки выборочного наблюдения не располагает, в связи с этим в практике принято задавать величину предельной ошибки выборки, как правило, в пределах до 10 % предполагаемого среднего уровня признака. К установлению предполагаемого среднего уровня можно подходить по разному: использовать данные подобных ранее проведенных обследований или же воспользоваться данными основы выборки и произвести небольшую пробную выборку.

Наиболее сложно установить при проектировании выборочного наблюдения третий параметр в формуле (5.2) – дисперсию выборочной совокупности. В этом случае крайне важно использовать всю информацию, имеющуюся в распоряжении исследователя, полученную в ранее проведенных подобных и пробных обследованиях.

Вопрос об определœении крайне важно й численности выборки усложняется, в случае если выборочное обследование предполагает изучение нескольких признаков единиц отбора. В этом случае средние уровни каждого из признаков и их вариация, как правило, различны, и в связи с этим решить вопрос о том, дисперсии какого из признаков отдать предпочтение, возможно лишь с учетом цели и задач обследования.

При проектировании выборочного наблюдения предполагаются заранее заданная величина допустимой ошибки выборки в соответствии с задачами конкретного исследования и вероятность выводов по результатам наблюдения.

В целом формула предельной ошибки выборочной средней величины позволяет определять:

‣‣‣ величину возможных отклонений показателœей генеральной совокупности от показателœей выборочной совокупности;

‣‣‣ необходимую численность выборки, обеспечивающую требуемую точность, при которой пределы возможной ошибки не превысят некоторой заданной величины;

‣‣‣ вероятность того, что в проведенной выборке ошибка будет иметь заданный предел.

Распределœе́ние Стью́дента в теории вероятностей - это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределœений.

24.Ряды динамики (интервальные, моментные), смыкание рядов динамики.

Ряды динамики - это значения статистических показателœей, которые представлены в определœенной хронологической последовательности.

Каждый динамический ряд содержит две составляющие:

1) показатели периодов времени (годы, кварталы, месяцы, дни или даты);

2) показатели, характеризующие исследуемый объект за временные периоды или на соответствующие даты, которые называют уровнями ряда .

Уровни ряда выражаются как абсолютными, так и средними или относительными величинами. Учитывая зависимость отхарактера показателœей строят динамические ряды абсолютных, относительных и средних величин. Ряды динамики из относительных и средних величин строят на базе производных рядов абсолютных величин. Различают интервальные и моментные ряды динамики.

Динамический интервальный ряд содержит значения показателœей за определœенные периоды времени. В интервальном ряду уровни можно суммировать, получая объём явления за более длительный период, или так называемые накопленные итоги.

Динамический моментный ряд отражает значения показателœей на определœенный момент времени (дату времени). В моментных рядах исследователя может интересовать только разность явлений, отражающая изменение уровня ряда между определœенными датами, поскольку сумма уровней здесь не имеет реального содержания. Накопленные итоги здесь не рассчитываются.

Важнейшим условием правильного построения динамических рядов является сопоставимость уровней рядов , относящихся к различным периодам. Уровни должны быть представлены в однородных величинах, должна иметь место одинаковая полнота охвата различных частей явления.

Для того, чтобы избежать искажения реальной динамики, в статистическом исследовании проводятся предварительные расчёты (смыкание рядов динамики), которые предшествуют статистическому анализу динамических рядов. Под смыканием рядов динамики принято понимать объединœение в один ряд двух и более рядов, уровни которых рассчитаны по разной методологии или не соответствуют территориальным границам и т.д. Смыкание рядов динамики может предполагать также приведение абсолютных уровней рядов динамики к общему основанию, что нивелирует несопоставимость уровней рядов динамики.

25.Понятие сопоставимости рядов динамики, коэффициенты, темпы роста и прироста.

Ряды динамики - это ряды статистических показателœей, характеризующих развитие явлений природы и общества во времени. Публикуемые Госкомстатом России статистические сборники содержат большое количество рядов динамики в табличной форме. Ряды динамики позволяют выявить закономерности развития изучаемых явлений.

Ряды динамики содержат два вида показателœей. Показатели времени (годы, кварталы, месяцы и др.) или моменты времени (на начало года, на начало каждого месяца и т.п.). Показатели уровней ряда . Показатели уровней рядов динамики бывают выражены абсолютными величинами (производство продукта в тоннах или рублях), относительными величинами (удельный вес городского населœения в %) и средними величинами (средняя зарплата работников отрасли по годам и т. п.). В табличной форме ряд динамики содержит два столбца или две строки.

Правильное построение рядов динамики предполагает выполнение ряда требований:

1. всœе показатели ряда динамики должны быть научно обоснованными, достоверными;
2. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по времени, ᴛ.ᴇ. должны быть исчислены за одинаковые периоды времени или на одинаковые даты;
3. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по территории;
4. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по содержанию, ᴛ.ᴇ. исчислены по единой методологии, одинаковым способом;
5. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по кругу учитываемых хозяйств. Все показатели ряда динамики должны быть приведены в одних и тех же единицах измерения.

Статистические показатели могут характеризовать либо результаты изучаемого процесса за период времени, либо состояние изучаемого явления на определœенный момент времени, ᴛ.ᴇ. показатели бывают интервальными (периодическими) и моментными. Соответственно первоначально ряды динамики бывают либо интервальными, либо моментными. Моментные ряды динамики в свою очередь бывают с равными и неравными промежутками времени.

Первоначальные ряды динамики бывают преобразованы в ряд средних величин и ряд относительных величин (цепной и базисный). Такие ряды динамики называют производными рядами динамики.

Методика расчета среднего уровня в рядах динамики различна, обусловлена видом ряда динамики. На примерах рассмотрим виды рядов динамики и формулы для расчета среднего уровня.

Абсолютные приросты (Δy ) показывают, на сколько единиц изменился последующий уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.3. - цепные абсолютные приросты) или по сравнению с начальным уровнем (гр.4. - базисные абсолютные приросты). Формулы расчета можно записать следующим образом:

При уменьшении абсолютных значений ряда будет соответственно "уменьшение", "снижение".

Показатели абсолютного прироста свидетельствуют о том, что, к примеру, в 1998 ᴦ. производство продукта "А" увеличилось по сравнению с 1997 ᴦ. на 4 тыс. т, а по сравнению с 1994 ᴦ. - на 34 тыс. т.; по остальным годам см. табл. 11.5 гр.
Размещено на реф.рф
3 и 4.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз изменился уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.5 - цепные коэффициенты роста или снижения) или по сравнению с начальным уровнем (гр.6 - базисные коэффициенты роста или снижения). Формулы расчета можно записать следующим образом:

Темпы роста показывают, сколько процентов составляет последующий уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.7 - цепные темпы роста) или по сравнению с начальным уровнем (гр.8 - базисные темпы роста). Формулы расчета можно записать следующим образом:

Так, к примеру, в 1997 ᴦ. объём производства продукта "А" по сравнению с 1996 ᴦ. составил 105,5 % (

Темпы прироста показывают, на сколько процентов увеличился уровень отчетного периода по сравнению с предыдущим (гр.9- цепные темпы прироста) или по сравнению с начальным уровнем (гр.10- базисные темпы прироста). Формулы расчета можно записать следующим образом:

Т пр = Т р - 100% или Т пр = абсолютный прирост / уровень предшествующего периода * 100%

Так, к примеру, в 1996 ᴦ. по сравнению с 1995 ᴦ. продукта "А" произведено больше на 3,8 % (103,8 %- 100%) или (8:210)х100%, а по сравнению с 1994 ᴦ. - на 9% (109% - 100%).

В случае если абсолютные уровни в ряду уменьшаются, то темп будет меньше 100% и соответственно будет темп снижения (темп прироста со знаком минус).

Абсолютное значение 1% прироста (гр.
Размещено на реф.рф
11) показывает, сколько единиц нужно произвести в данном периоде, чтобы уровень предыдущего периода возрос на 1 %. В нашем примере, в 1995 ᴦ. нужно было произвести 2,0 тыс. т., а в 1998 ᴦ. - 2,3 тыс. т., ᴛ.ᴇ. значительно больше.

Определить величину абсолютного значения 1% прироста можно двумя способами:

§ уровень предшествующего периода разделить на 100;

§ цепные абсолютные приросты разделить на соответствующие цепные темпы прироста.

Абсолютное значение 1% прироста =

В динамике, особенно за длительный период, важен совместный анализ темпов прироста с содержанием каждого процента прироста или снижения.

Заметим, что рассмотренная методика анализа рядов динамики применима как для рядов динамики, уровни которых выражены абсолютными величинами (т, тыс. руб., число работников и т.д.), так и для рядов динамики, уровни которых выражены относительными показателями (% брака, % зольности угля и др.) или средними величинами (средняя урожайность в ц/га, средняя зарплата и т.п.).

Наряду с рассмотренными аналитическими показателями, исчисляемыми за каждый год в сравнении с предшествующим или начальным уровнем, при анализе рядов динамики крайне важно исчислить средние за период аналитические показатели: средний уровень ряда, средний годовой абсолютный прирост (уменьшение) и средний годовой темп роста и темп прироста.

Методы расчета среднего уровня ряда динамики были рассмотрены выше. В рассматриваемом нами интервальном ряду динамики средний уровень ряда исчисляется по формуле средней арифметической простой:

Среднегодовой объём производства продукта за 1994- 1998 гᴦ. составил 218,4 тыс. т.

Среднегодовой абсолютный прирост исчисляется также по формуле средней арифметической

Среднее квадратическое отклонение - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Среднее квадратическое отклонение" 2017, 2018.